Cтраница 2
Итак, при наличии особых точек кривая ( 2), полученная в результате решения системы ( 9), подлежит еще проверке: она может быть огибающей, может быть геометрическим местом особых точек на кривых семейства или, наконец, частью - огибающей, частью же - таким геометрическим местом. [16]
Уравнение огибающей семейства поверхностей F-Q получается исключением параметра а. Однако при этом получается также геометрическое место особых точек, если последние имеются. [17]
Система уравнений ( 6) не всегда определяет огибающую. Иногда решением такой системы является кривая, изображающая геометрическое место особых точек, при этом направление ее кривой не совпадает с направлением поля. [18]
Таким образом ветвь геометрического места точек одискри-минанта через ( jcai j / a) представляет собой огибающую или геометрическое jnecTo особых точек. Геометрическое место точек с-дискриминанта разбйвартся на две отдельных части, одна из которых образует огибающую, а другая - геометрическое место особых точек. R наиболее общем случае особыми являются точки пересечения и узлы, так что геометрическое место с-дискри-мингшта содержит геометрическое место точек пересечения и узлов. [19]
Итак, уравнения ( 6) определяют либо огибающую, либо геометрическое место особых точек кривых семейства ( 1), либо сочетание того и другого. Таким образом, получив кривую, удовлетворяющую уравнениям ( 6), необходимо дополнительно исследовать, является ли она огибающей или геометрическим местом особых точек. [20]
При этом надо иметь в виду, что эта система уравнений может вообще не определять никакой кривой; тогда уравнение не будет иметь особого интеграла. Но даже когда система ( 25) определяет кривую ( дискраминантную кривую), то она может оказаться не огибающей, а геометрическим местом особых точек кривых семейства и, следовательно, все-таки не быть особым интегралом. [21]
Если из двух уравнений () исключить параметр с, то получим так называемое дискриминантное уравнение вида g ( x y, z) Q. Представляемая этим уравнением поверхность называется дискраминант-ной поверхностью системы. В итоге мы приходим к аналогичному выводу: дискриминантная поверхность состоит из огибающей и из геометрического места особых точек поверхностей семейства. [22]
Угловой коэффициент в точке ( с, с) касательной к первой ветви дискриминантной линии равен 1, а угловой коэффициент касательной в той же точке на соответствующей кривой семейства равен нулю. Прямая у х не является огибающей. Вторая ветвь является огибающей. Дискри-минантная кривая состоит из огибающей и геометрического места особых точек ( фиг. [23]
Угловой коэффициент в точке ( с, с) касательной к первой ветви дискриминантной линии равен 1, а угловой коэффициент касательной в той же точке на соответствующей кривой семейства равен нулю. Прямая у х не является огибающей. Вторая ветвь является огибающей. Дискри-минантная кривая состоит из огибающей и геометрического места особых точек ( ] иг. [24]