Cтраница 3
Это важный результат, свидетельствующий о том, что существует стационарный итерационный метод, для реализации которого необходимо найти только максимальное собственное число оператора BS - - T. Так же, как и метод чебышевского ускорения, метод верхней релаксации удобно использовать в тех случаях, когда при одном и том же операторе задачи А необходимо найти решения при различных входных данных. [31]
В последние годы уравнения фильтрации решаются методом конечных разностей. Получающаяся в результате конечно-разностной аппроксимации система линейных уравнений решается методом покомпонентной верхней релаксации. [32]
При использовании полностью неявных методов образующиеся линейные уравнения оказываются связанными, вследствие чего они могут быть эффективно решены только методами совместного решения, а не последовательными методами. Итерационные методы, используемые для решения больших задач, например, строго неявный метод и метод линейной верхней релаксации в данной ситуации часто не дают сходимости. Таким образом, большинство математических моделей не могут использовать полностью неявные схемы для решения больших задач. Метод Nested Factorisation, применяемый в ECLIPSE, позволяет эффективно и надежно решать задачи с большим числом узлов. [33]
Устойчивые решения в условиях высокой нагрузки были получены в работах [36, 50] с помощью обратного метода, основанного на определении h ( x, у по заданному р ( х, у) из уравнения Рейнольдса. Гибридная численная схема для исследования эллиптического контакта описана в работе [82] и комбинировалась из алгоритмов прямого решения уравнения Рейнольдса методом верхней релаксации в области низких давлений и обратного - в области высоких давлений. [34]
Программа MODFLOW реализует численную конечно-разностную модель фильтрации подземных вод для расчета пространственно-временного распределения напоров в трехмерной постановке и базируется на известном уравнении неразрывности фильтрационного потока флюидов постоянной плотности. Алгоритмы решения неявной системы нелинейных ( в общем случае) уравнений используют три возможные итерационные процедуры: метод SIP, метод верхней релаксации ( SOR) и метод сопряженных градиентов ( разд. [35]
В целом, эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми растет с увеличением числа узлов: считается, что при достаточно больших сетках - порядка первых тысяч узлов для двумерных задач и нескольких сотен для трехмерных - они уже оказываются предпочтительными. При этом среди итерационных методов также существует своя иерархия предпочтений, которая в последнее время ставит на первое место - в решении задач на больших сетках - метод сопряженных градиентов. В отличие от таких широко используемых итерационных методов, как SOR ( метод верхней релаксации) или SIP ( сильно неявная процедура), этот метод ни требует диагонального преобладания для матриц, мало чувствителен к направленной, регулярно ориентированной неоднородности, не требует эмпирического подбора счетных параметров и является, в конечном итоге, наиболее универсальным, сравнительно мало зависящим от характера конкретной задачи. Именно методом сопряженных градиентов и решаются сейчас, как правило, наиболее трудоемкие задачи - на сетках во многие тысячи-десятки тысяч узлов. [36]
Однако экономичность итерационных методов в первую очередь оденивается временем, необходимым для получения решения с заданной точностью, и, следовательно, определяется скоростью сходимости итерационного процесса и числом арифметических действий на каждой итерации. При решении эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами ( уравнения Лапласа), используя теоретические оценки числа арифметических действий и скорости сходимости, нетрудно показать, что неявные методы переменных направлений становятся экономичнее лишь при разбиении квадрата более чем на 30 X 30 ячеек. Эта оценка подтверждается численными экспериментами на ЭВМ. Преимущества метода верхней релаксации возрастают при переходе к областям более сложной формы при переменных коэффициентах или анизотропных средах. Так, для прямоугольника 50 х 20 ячеек продолжительность расчета методом переменных направлений примерно в 1 4 раза больше, чем методом верхней релаксации, а для 50 X 50 -в 1 2 раза. [37]
Области применения описанных выше методов различны. Некоторые итерационные методы, в частности неявные методы переменных направлений, не пригодны для решения тех задач разработки месторождений, когда проницаемости области изменяются по ее направлениям. Итерационный метод переменных направлений более устойчив. Однако наиболее универсален метод верхней релаксации. При исследовании процесса конусообразования и процессов фильтрации в поперечных сечениях - пласта простой метод переменных направлений не может конкурировать с итерационным методом переменных направлений или методом линейной верхней релаксации. [38]
Новизна алгоритма состоит в том, что на каждом шаге итеративного процесса последовательно решаются две задачи. Первая - это решение линейной алгебраической системы уравнений, матрица коэффициентов которого удовлетворяют условиям Адамара. В результате определяются давления в каждом узле сети. Вторая - это решение краевой задачи для дифференциальных уравнений на каждом участке сети, в результате чего определяется распределение скоростей нефти, газа и воды вдоль рассматриваемого участка. С вычислительной точки зрения, первая задача имеет эффективные решения, в частности, метод верхней релаксации. Решение второй задачи сводится к решению некоторого функционального уравнения с одним неизвестным. Здесь могут быть применены многочисленные методы решения нелинейного алгебраического уравнения с одним неизвестным. Обе задачи достаточно быстро решаются на современных ЭВМ. [39]
Однако экономичность итерационных методов в первую очередь оденивается временем, необходимым для получения решения с заданной точностью, и, следовательно, определяется скоростью сходимости итерационного процесса и числом арифметических действий на каждой итерации. При решении эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами ( уравнения Лапласа), используя теоретические оценки числа арифметических действий и скорости сходимости, нетрудно показать, что неявные методы переменных направлений становятся экономичнее лишь при разбиении квадрата более чем на 30 X 30 ячеек. Эта оценка подтверждается численными экспериментами на ЭВМ. Преимущества метода верхней релаксации возрастают при переходе к областям более сложной формы при переменных коэффициентах или анизотропных средах. Так, для прямоугольника 50 х 20 ячеек продолжительность расчета методом переменных направлений примерно в 1 4 раза больше, чем методом верхней релаксации, а для 50 X 50 -в 1 2 раза. [40]
Области применения описанных выше методов различны. Некоторые итерационные методы, в частности неявные методы переменных направлений, не пригодны для решения тех задач разработки месторождений, когда проницаемости области изменяются по ее направлениям. Итерационный метод переменных направлений более устойчив. Однако наиболее универсален метод верхней релаксации. При исследовании процесса конусообразования и процессов фильтрации в поперечных сечениях - пласта простой метод переменных направлений не может конкурировать с итерационным методом переменных направлений или методом линейной верхней релаксации. [41]