Метод - решение - краевая задача
Cтраница 2
Метод граничных элементов ( МГЭ) - это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом: дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде ( точно или приближенно) фундаментальные решения ( или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений si исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения ( ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно ( более раннее) название МГЭ - метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [16]
W ( fi) и доказательство соотношений между нормами в этих пространствах, дают очень простой, широко применимый метод решения краевых задач математической физики. [17]
Важнейшие итерационные методы приближенного решения уравнения ( 3) как относительно общего вида, так и специального вида, характерного для дискретных ( сеточных) методов решения краевых задач для уравнений и систем уравнений с частными производными сильно эллиптич. Нелинейные операторные уравнения, связанные с рассмотрением бесконечномерных пространств ( см., напр. Численные методы их приближенного решения включают в себя также методы их аппроксимации конечномерными уравнениями; эти методы рассматриваются отдельно. [18]
Научной базой для расчета композитных пьезоэлементов является теория электромагнитоупругости структурно неоднородных сред, одна из центральных задач которой - построение адекватных математических моделей и разработка методов решения связанных краевых задач электро-и магнитоупругости композитов с учетом связности электрических, магнитных и деформационных полей, неоднородности этих полей, анизотропии и особенностей взаимодействия элементов структуры. Нерегулярный характер реальных структур пьезокомпозитов приводит к необходимости решения этой задачи в вероятностной постановке. [19]
Во второй части даны приложения полученных соотношений к выводу разрешающих уравнений состояния наиболее характерных классов оболочек: оболочек вращения, пологих и цилиндрических оболочек, разработке методов решения краевых задач, возникающих при их расчете. Последняя глава посвящена постановке и решению одного класса нетрадиционных задач о контактном взаимодействии твердых жестких тел с упругими пластинками и оболочками, который характерен тем, что применение классической теории приводит к несоответствиям физической сущности таких задач и служит определенной иллюстрацией возможностей излагаемой в книге теории. [20]
Излагаемые в данной главе метод исследования закономерностей изменения предельных нагрузок и теория расчета элементов композитных конструкций по их обобщенным характеристикам опираются в основном на представления, вытекающие из постановки и методов решения краевых задач математической физики. [21]
Ряд методов решения краевых задач рассмотрен ниже ( стр. [22]
Как уже отмечалось, метод решения краевых задач, использующий перенос граничных условий, часто называют методом прогонки. Это название соответствует характеру процедуры: сначала граничные условия переносятся с одного конца траектории на другой; для этого приходится решать задачу Коши, интегрируя уравнения, например, слева направо, потом нам остается решить еще одну задачу Коши, причем в этом случае мы должны проинтегрировать систему справа налево. [23]
Во второй главе даны постановка и решение стохастической краевой задачи для двухфазных квазипериодических пьезоструктур. Исследованы статистические характеристики квазипериодических случайных структур и предложен метод решения стохастических связанных краевых задач электроупругости - метод периодических составляющих, который объединил хорошо развитые методы решений периодических задач со спецификой и принципиальными возможностями стохастических методов механики композитов. Решение стохастической краевой задачи электроупругости для квазипериодических пьезокомпозитов представлено в виде ряда, на основе которого были рассмотрены различные приближения: корреляционное приближение, которое учитывает лишь первый член этого ряда, сингулярное и обобщенное сингулярное приближения, которые соответствуют суммированию всех членов ряда, но лишь с учетом одноточечных статистических характеристик случайной структуры композита. [24]
Так как в процессе нагружения векторы скорости деформации остаются нормальными к этим плоскостям, то, следовательно, в процессе нагружения эти векторы остаются параллельными, а отсюда вытекает, что полная пластическая деформация не зависит от пути нагружения. При условии простого нагружения или в случае кусочно-л-инейной кривой текучести общие соотношения между напряжениями и скоростями деформаций или соотношения между напряжениями и приращениями деформаций теории пластичности, обычно называемой теорией течения 1), могут быть заменены соотношениями между напряжениями и деформациями, соответствующими деформационной теории; эта теория позволяет упростить метод решения краевых задач теории пластичности, поскольку она исключает необходимость затруднительного интегрирования вдоль пути деформирования. [25]
 |
Изменение давления для различных значений. [26] |
Однако численное решение этой задачи не вызывает трудностей. Задавая значения давления в начале трубопровода р ( 0) poi, можно каждый раз решать начальную задачу Коши, выбирая затем то решение, которое для давления р ( L) в конце трубопровода дает значение, близкое к атмосферному. В вычислительной математике такой метод решения краевых задач обычно называют методом пристрелки. Выяснено, что для расчета одного варианта такой задачи на ЭВМ БЭСМ-6 требуется от одной до трех минут. При этом используют стандартный метод Рунге-Кутта и вычислительную программу с автоматическим выбором шага. [27]
Разработанный здесь метод численного определения матричной функции Грина обладает рядом достоинств, позволяющих рекомендовать его к широкому практическому использованию. В нем эффективно преодолевается сильная численная неустойчивость дифференциальных уравнений неклассической теории слоистых оболочек; не вызывает никаких затруднений также и переменность коэффициентов этих уравнений. Сам метод матричной функции Грина как метод решения краевых задач механики оболочек имеет известные преимущества перед другими. Так, в нем не возникает проблем, связанных с построением ортогонального координатного базиса, как в методе Бубнова - Галеркина, или с большой размерностью, а часто и плохой обусловленностью алгебраической системы, как в методе конечных разностей. В задачах устойчивости оболочек использование данного метода позволяет легко и естественно учесть такие факторы, как до-критические деформации, неоднородность распределения докритических усилий в отсчетной поверхности оболочки, краевые условия задачи. В то же время число точек разбиения отрезка интегрирования, необходимое для аппроксимации интегрального оператора, относительно невелико, что приводит к алгебраической задаче невысокой размерности. [28]
Методам и результатам решения указанных задач в настоящей книге уделено основное внимание. Повышение механических и тепловых нагрузок по мере увеличения мощности и маневренности ВВЭР и усиление требований к безопасности АЭС при нормальных и аварийных режимах приводит к возможности образования в ряде зон ( у патрубков с учетом разнородности материалов и наплавок, в шпильках основного разъема, в зонах контакта) упругопластических деформаций. Условия нелинейного местного деформирования требуют усложнения методов решения краевых задач, с одной стороны, и разработки приближенных инженерных подходов к определению местных напряжений - с другой. [29]
Трудность решения таких задач заключается в том, что они физически и геометрически нелинейны. Наиболее распространенный подход к решению физически нелинейных задач неустановившейся ползучести основан на методе шагов по времени [4, 9, 19, 39, 63], который реализуется в сочетании с одним из методов решения краевой задачи. Среди последних широкое применение в практике расчета гибких пологих оболочек нашли методы, использующие в качестве основы дифференциальные уравнения краевой задачи - методы конечных разностей [36], численного интегрирования дифференциальных уравнений [10] и вариационные. [30]
Страницы: 1 2 3