Cтраница 2
Это непосредственно следует из метода Римана [143], если уравнение приведено к той канонической форме, которая была принята при применении метода Римана. [16]
Теорему Кантора можно высказать в следующей более общей форме: если тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, суммируется к нулю методом Римана всюду, кроме, быть может, конечного числа точек, то все его коэффициенты равны нулю. [17]
В настоящем параграфе рассматриваются задачи о колебаниях неограниченной, полуограниченной и конечной струны, а также аналогичные задачи из других областей физики, причем для их решения применяются нижеследующие методы: метод интеграла Фурье, переход к конечному интервалу методом отражений, метод Римана. [18]
Так как А ( х) 0 вне ( а, Ь), то в силу следствия 1 ряд (71.4) сходится к нулю вне ( а, Ь) и, значит, суммируется вне ( а, Ь) к нулю методом Римана. Если так, то по теореме § 70 ( см. замечание к ней) он имеет все коэффициенты равными нулю. [19]
Если тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, имеет пределы неопределенности iitn Sn ( x) Hlim S ( x) конечными всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества Е, и обе функции суммируемы на [ - п, п ], то этот тригонометрический ряд суммируется методом Римана почти всюду и является рядом Фурье от своей римановской суммы. [20]
Все рассуждения настоящего параграфа не предполагают, конечно, аналитичности функций. Применяя метод Римана, мы можем определить значение искомой функции и в точке Р, пользуясь или криволинейным треугольником РАВ, или криволинейным треугольником РВС. Полученные две формулы дадут, вообще говоря, в точке Р разные результаты для и, и, таким образом, задача окажется не - разрешимой. [21]
При невыполнении этого условия задача Коши, вообще говоря, неразрешима. Применив метод Римана, мы можем определить значение искомой функции и ( х, у) в точке М, пользуясь или криволинейным треугольником PQM, или криволинейным треугольником Q PM. Полученные две формулы дадут, вообще говоря, в точке М разные значения для и, и, таким образом, задача Коши окажется неразрешимой. [22]
При невыполнении этого условия задача Коши, вообще говоря, неразрешима. Применив метод Римана, мы можем определить значение искомой функции и ( х, у) в точке М, пользуясь или криволинейным треугольником PQM, или криволинейным треугольником QtPM. Полученные две формулы дадут, вообще говоря, в точке М разные значения для и, и, таким образом, задача Коши окажется неразрешимой. [23]
Несмотря на то, что в настоящее время общее решение линейного уравнения гиперболического типа всегда может быть найдено-либо методом Римана, либо численно, пользуясь сеткой характеристик - методы Эйлера сохраняют большое практическое значение. Дело в том, что метод Римана требует применения квадратур, выполняемых, как правило, только численно. В то же время так называемую функцию Римана, входящую в это решение, чаще всего найти трудно. С другой стороны, метод сеток, будучи численным, не дает решения в виде общих формул и часто также очень трудоемок. Напротив, решения Эйлера требуют лишь элементарных, мало трудоемких операций и дают результат в явном виде. А, как мы видели, ряд практически важных задач сводится хотя бы приближенно к уравнениям, допускающим решение методами Эйлера. Этим объясняется то обстоятельство, что некоторые из этих методов были вновь открыты современными нам авторами, не знакомыми с Интегральным исчислением Эйлера. [24]
В ней было доказано, что коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции стремятся к нулю и, кроме того, развит метод Римана суммирования тригонометрических рядов. Целью Римана был не столько сам по себе метод суммирования тригонометрических рядов, сколько поиск условий, которым следует подчинить функцию для того, чтобы она была представима суммой сходящегося тригонометрического ряда. При этом речь идет о функции самой общей природы. Римана сильно опередила свое время; ее вполне можно охарактеризовать как труд по теории функций вещественной переменной ( Риман, по существу, открыл класс гладких по Зигмунду функций, естественность и необходимость которого была вполне осознана лишь в 40 - х - 50 - х годах нашего века. [25]
Но этот специальный метод не может быть обобщен на уравнения с переменными коэффициентами. Этот метод, являющийся обобщением метода Римана, основан, как и последний, на своеобразном применении формулы Грина. Он дает решение задачи Коши при задании начальных условий не только на плоскости t О, но и на некоторых нехарактеристических поверхностях. По своей основной идее он близок к методам, применимым и для уравнений с переменными коэффициентами. [26]
Если требование сходимости к - ( или к - о) заменить на требование суммируемости к ( или к - -), то надо еще уточнить, о каком методе суммирования идет речь. Римана к -) - оо ( или к - ) на множестве положительной меры. Между прочим, отсюда вовсе не вытекает, что нельзя построить ряд, сходящийся к на множестве положительной меры, так как теорема о том, что сходимость ряда и точке х к числу S влечет его суммируемость к S в точке х методом Римана, верна лишь для S конечного. [27]
Напомним, что Исходным пунктом МОЗР решения нелинейных уравнений является возможность записать нелинейное уравнение как условие разрешимости пары коммутирующих линейных уравнений. Тем не менее, приемы, разработанные в МОЗР, переносятся и на более общие системы. Действительно, в [10] с помощью метода Римана - Гильберта было установлено существование в уравнениях N - Ц суперсимметричной калибровочной теории бесконечномерной группы скрытой симметрии, причем алгеброй Ли для этой группы является алгебра токов. II ] было показано, что при помощи разложения линейных уравнений из [9] по спектральному параметру может быть получена бесконечная последовательность нелокальных сохраняющихся токов. [28]
Риман построил теорию алгебраических функций одной переменной и интегралов от них - так называемых абелевых интегралов - с помощью трансцендентного метода, основанного на использовании принципа минимума в теории потенциала, названного Риманом принципом Дирихле, и вскрыл чисто топологическую основу разнообразных теоретике функциональных отношений, существующих в этой области. Строгое доказательство принципа Дирихле, столь очевидного с точки зрения физика было найдено Гильбертом лишь через пятьдесят лет. Оставалась нерешенной проблема - заменить и обосновать предложенные Риманом трансцендентные доказательства существования явными алгебраическими построениями, исходящими из уравнения алгебраической кривой. Вейерштрасс ( в своих лекциях, подробная запись которых была опубликована позднее) решил эту проблему в присущей ему наполовину функционально-теоретической, наполовину алгебраической манере, но Клебш ввел идеи Римана в геометрическую теорию алгебраических кривых, а после того как Клебш сравнительно молодым умер3, Нетер продолжил его дело: Максу Нетеру удалось возвести все здание алгебраической геометрии кривых на основе так называемой теоремы Нетера о вычетах. Позднее то же направление исследований было подхвачено и продолжено главным образом в Италии; жила, на которую напал Нетер, и поныне продолжает оставаться обильным источником исследований. Убедительным подтверждением тому могут служить работы находящихся среди нас Лефшеца и Зариского. Позднее наряду с трансцендентным методом Римана и алгебро-геометрическим методом Нетера возникла арифметическая теория алгебраических функций, созданная, с одной стороны, Дедекиндом и Вебером, а с другой - Гензелем и Ландсбергом. Именно к этому направлению примыкала и Эмми Нетер. Краткий обзор арифметической теории алгебраических функций, устанавливающий параллелизм соответствующих понятий в конкурирующих теориях, был опубликован Эмми Нетер в Ежегоднике немецкого математического общества ( Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung) за 1920 г. Этот обзор дополнил известный обзор Брилля и Макса Нетера по ал гебро-гео метрической теории, напечатанный в 1984 г. в одном из первых томов Ежегодника. [29]