Cтраница 4
Используются два способа решения ( 10): метод покоординатного спуска и метод сопряженных градиентов. Решение задачи ( 10) начинается методом покоординатного спуска. [46]
Если размерность задачи невелика, то метод градиентного спуска всегда предпочтительнее метода покоординатного спу-ска. Но по мере роста размерности относительная эффективность метода покоординатного спуска возрастает. Эффективность численного метода, использующего большое количество итераций, определяется двумя характеристиками метода г - количеством итераций и затратами времени на одну итерацию. По мере роста размерности соотношение затрат времени на одну итерацию становится все более и более в пользу покоординатного спуска. [47]
Если размерность задачи невелика, то метод градиентного спуска всегда предпочтительнее метода покоординатного спуска. Но по мере роста размерности относительная эффективность метода покоординатного спуска возрастает. Эффективность численного метода, использующего большое количество итераций, определяется двумя характеристиками метода - количеством итераций и затратами времени на одну итерацию. Конечно, количество итераций с ростом размерности у градиентного спуска росло медленнее, чем у покоординатного, но в целом относительная эффективность покоординатного спуска увеличивалась. [48]
Кроме того, следует отметить, что в ряде задач экстремум критериальной функции в области допустимых решений ( например, для зависимости стоимость-время) имеет пологий характер. В этом случае целесообразно использовать, например, метод покоординатного спуска с квадратичной аппроксимацией по каждой переменной или метод сопряженных градиентов. [49]
В этом случае построенная модель представляет собой частный случай задачи нелинейного программирования, когда ищется минимум выпуклой нелинейной функции многих переменных, называемых целевой функцией, без ограничений на переменные. Наиболее часто используемыми алгоритмами минимизации функций многих переменных являются метод покоординатного спуска, или метод релаксации, и метод градиентного спуска. В случае градиентного метода движения происходит в направлении наискорейшего убывания функции. При расчетах весьма сложных газовых сетей используются топологические методы составления математической модели задачи и далее применяются численные методы нахождения решения. [50]
Можно видеть, что управляемый процесс естественным образом разбивается на k шагов, а критерий оптимальности Q зависит от совокупности шаговых управлений. Моделирование системы энергосберегающего управления может быть осуществлено с использованием метода покоординатного спуска, представляющего собой итеративную процедуру, в которой переходят шаг за шагом от одного допустимого решения к другому так, что значение целевой функции улучшается. [51]
Практически же на всех циклах, кроме первого, в процессе оптимизации это число будет существенно меньше. Как было показано в [60], при решении задачи нелинейного программирования с дискретными аргументами методом покоординатного спуска процесс может окончиться в точке, далекой от оптимума. В разработанном алгоритме для преодоления этого недостатка предусмотрен ряд мер. [52]
Если взять начальную точку во втором квадранте, то не всегда удается обеспечить сходимость. Выбрав исходную точку с координатами ( - 1; 1), попытаться решить эту задачу оптимизации: а) методом покоординатного спуска, б) градиентным методом и в) методом конфигураций. [53]
В главе 2 изложены методы и алгоритмы оптимизации параметров и профиля теплоэнергетических установок. Здесь дано описание алгоритма оптимизации непрерывно изменяющихся параметров, использующего идеи градиентного метода; алгоритма направленного дискретного спуска, сочетающего возможности метода покоординатного спуска и метода случайного поиска; метода динамического программирования в применений к оптимизации компоновки парогенератора. Обсуждаются вопросы сходимости предложенных алгоритмов, а также даны примеры их практического использования. [54]
Необходимое и достаточное условие его сходимости не совпадает с условием сходимости простых итераций, и в разных условиях он может быть выгоден или невыгоден. Отметим один признак сходимости: если матрица Л - эрмитова и положительно определенная, то метод Зейделя в форме ( 53) совпадает с методом покоординатного спуска для решения задачи на минимум квадратичной формы ( х, Ах) - 2 ( ft, jc) min; как будет показано в главе VII, метод покоординатного спуска сходится, что обеспечивает сходимость метода Зейделя в данном случае. [55]
В случае, когда для выпуклой функции ф ( лг) выполняются условия 1 и 2, справедливы оценки скорости сходимости методов спуска, в том числе градиентного спуска и метода сопряженных направлений, а так же методов случайного покоординатного спуска и метода случайного спуска, аналогичные тем, которые приводились в пп. При этом константы в этих оценках будут иными, но порядок скорости сходимости остается прежним. [56]