Cтраница 1
Метод дифференциальных уравнений, согласно теории Камке, является наиболее эффективным для обыкновенных дифференциальных уравнений. В этой книге он описан более подробно, чем другие методы. [1]
Теперь решим поставленные задачи на основе метода дифференциальных уравнений. [2]
Исследованию отображений с ограниченным искажением посвящен ряд работ автора на основе метода дифференциальных уравнений. Изучением таких отображений активно занимались также мои финские коллеги и некоторые другие авторы. [3]
Но вскоре стало очевидно, что во многих случаях одних лишь методов дифференциальных уравнений совершенно недостаточно. Различные случаи особого, или сингулярного, поведения решения часто оказывались преобладающе важными. В пространстве игры f такие явления имеют место, как правило, на поверхностях. Под поверхностью здесь, как и в будущем, понимается ( п - 1) - мерное многообразие в n - мерном пространстве. Наряду с сингулярными поверхностями встречаются многообразия меньших размерностей, но здесь они большей частью не учитывались ввиду того, что при этом появляются ограничения для наших методов, а также потому, что поверхности наиболее интересны, ибо они обычно разделяют на отдельные области. [4]
В этом пункте демонстрируется основной метод теории телефонных и телеграфных сообщений - метод дифференциальных уравнений. [5]
Затруднения при составлении уравнений движения не являются единственной причиной того, что метод дифференциальных уравнений имеет ограниченное применение. Реальные промышленные системы автоматического регулирования в большом числе случаев могут быть описаны даже приближенно лишь уравнениями высокого порядка или системами уравнений, решение которых далеко не всегда возможно в общем виде и требует подчас громоздких вычислений. [6]
Здесь очень важно уяснить себе, что это первый пример в данной книге, когда метод дифференциальных уравнений для средних значений величин, развитый в гл. Это требование должно удовлетворяться при использовании формализма гл. Для резонатора с линейным законом потерь в стенках видим, что энергия поля внутри резонатора затухает во времени экспоненциально с постоянной времени 7 тс ( постоянной затухания резонатора) независимо от уровня возбуждения. Поскольку предположение о том, что TjhTi, которое приводит к (6.25), согласуется с таким экспоненциальным затуханием, го можно заключить, что предположение о равенстве времен релаксации в этом случае оправдано. [7]
Легко, видеть, что это выражение совпадает с выражением, полученным при решении задачи 10.50 методом дифференциальных уравнений. [8]
Эти результаты теории послойного метода, однако, нисколько не противоречат тому, что дает так называемая равновесная теория хроматографии, использующая метод дифференциальных уравнений. В самом деле, в теории послойного метода при использовании в расчетах выпуклой изотермы сорбции ( например, изотермы Ленгмюра) получается стационарный фронт. [9]
Выбор такой геометрии резонатора для этой задачи определен тем, что во-первых, большинство конструкций газового лазера имеет цилиндрическую симметрию; во-вторых, для этой симметрии методом дифференциальных уравнений нами уже получено аналитическое решение АР, что дает возможность проверки метода интегральных уравнений. В дальнейшем мы покажем, что полученные интегральные уравнения для плоского АР легко трансформировать на резонаторы произвольной геометрии. Исходным будем считать уравнение (2.73) этого параграфа, которое описывает поле заданного резонатора. Взамен этого дифференциального уравнения мы должны получить интегральное уравнение. [10]
Изучение поставленных вопросов может быть проведено как на основе спектральных, так и на основе временных представлений. Дюа-меля) и метод дифференциальных уравнений, который часто в плане решения данных задач называют методом стохастических дифференциальных уравнений. [11]
Статистический метод расчета реакторов основан на исследовании не свойств массы реагирующего потока, заключенной в элементе объема зоны реакции, а индивидуального поведения молекул реагентов в проточном аппарате, взятом как целое. Этот метод не столь универсален, как метод дифференциальных уравнений баланса. Область его применения практически ограничена теми процессами, в которых вероятность превращения молекул всех веществ не зависит от их траектории внутри реакционной зоны. [12]
Точкой обозначается дифференцирование по времени djdt. Здесь очень важно уяснить себе, что это первый пример в данной книге, когда метод дифференциальных уравнений для средних значений величин, развитый в гл. Поэтому необходимо проанализировать предположение о том, что все времена продольной релаксации Tjh равны друг другу и определяются величиной 7Y Это требование должно удовлетворяться при использовании формализма гл. Для резонатора с линейным законом потерь в стенках видим, что энергия поля внутри резонатора затухает во времени экспоненциально с постоянной времени TI rc ( постоянной затухания резонатора) независимо от уровня возбуждения. Поскольку предположение о том, что Т TI, которое приводит к (6.25), согласуется с таким экспоненциальным затуханием, то можно заключить, что предположение о равенстве времен релаксации в этом случае оправдано. [13]
Возможно, многим исследователям, занятым практической электронной микроскопией и дифракцией, пришлось бы довольно трудно, если бы мы попытались представить полное рассмотрение дифракции по такой схеме. Поэтому в тех случаях, когда это приемлемо, мы будем переводить нашу трактовку на более привычную почву методов дифференциальных уравнений. Однако мы хотели бы заметить, что рассмотрение в подобных случаях следует считать лишь параллелью основному развитию теории, проведенной либо для удобства, либо в связи с принятыми обозначениями. [14]
Далее на конкретном примере будет показано, что изложенный метод при наличии таблиц специальных функций не требует определения частот собственных колебаний и постоянных интегрирования. Однако результаты, полученные в виде формул ( 40) и ( 41), позволяют исключить операцию определения произвольных постоянных интегрирования и для принятых методов решения таких задач методом дифференциальных уравнений. [15]