Cтраница 4
Если же рассматривается вторая краевая задача, то ( р, ty) L имеет прежний вид, но краевое условие Неймана оказывается уже естественным. Последнее обстоятельство наводит на мысль, а нельзя ли задачу с главными граничными условиями приближенно свести к вариационной задаче с естественными условиями. Оказывается, что в ряде случаев это можно сделать при помощи метода штрафов. [46]
Аналогичная ситуация может быть, конечно, и в самом общем случае задач с фазовыми ограничениями, когда управления входят в систему уравнений линейно. Поэтому при решении таких задач необходимо учитывать возможность появления участков особого управления. Но решение задач с особыми управлениями не является более простой задачей, чем задача, когда фазовые ограничения учитываются непосредственно. Отсюда метод штрафов сводит задачу с фазовыми ограничениями к не более простой задаче с особыми управлениями. Следовательно, применение метода штрафов в описанном виде становится малоэффективным. Здесь возможен следующий путь. [47]
К настоящему времени накоплен положительный опыт применения метода штрафных функций для решения ряда практических задач оптимизации. Вместе с тем в сложных задачах при большом числе нелинейных ограничений в виде неравенств, когда точка оптимума может лежать на границах нескольких из этих ограничений, применение способа штрафных функций дало недостаточно хорошие результаты. Дело в том, что неоднозначное изменение минимизируемой функции вследствие периодического появления или исчезновения отдельных функций штрафа приводит к систематическому, очень резкому изменению направлений антиградиента; при этом истинное направление спуска теряется: скорость спуска замедляется, а время решения на ЭВМ интенсивно растет. Иногда методом штрафов вообще не удается преодолеть зацикливания и получить решение задачи. [48]
Метод штрафов является инструментом для получения условий оптимальности в задачах с ограничениями. Схема рассуждений выглядит следующим образом. Сначала исходная задача оптимизации методом штрафов сводится к параметрическому семейству задач, уже исследованных ранее. Затем предельным переходом по параметру штрафа в условиях оптимальности для задач этого семейства выводятся и условия оптимальности в исходной задаче. [49]
При прочих равных условиях алгоритмы безусловной минимизации существенно более просты. Поэтому преимущество имеют те подходы, которые обеспечат решение задачи с использованием только методов безусловной минимизации. В дальнейшем будем предполагать, что в качестве метода условной оптимизации используется метод штрафов. [50]
Аналогичная ситуация может быть, конечно, и в самом общем случае задач с фазовыми ограничениями, когда управления входят в систему уравнений линейно. Поэтому при решении таких задач необходимо учитывать возможность появления участков особого управления. Но решение задач с особыми управлениями не является более простой задачей, чем задача, когда фазовые ограничения учитываются непосредственно. Отсюда метод штрафов сводит задачу с фазовыми ограничениями к не более простой задаче с особыми управлениями. Следовательно, применение метода штрафов в описанном виде становится малоэффективным. Здесь возможен следующий путь. [51]
Формально метод штрафных функций решает все проблемы, однако при практической его реализации встретились серьезные трудности: медленная сходимость, ненадежность и грубость результатов. Причины этих неприятностей были поняты, и сторонники метода сосредоточили свои усилия на решении соответствующих вопросов вычислительной технологии: разработке надежных и эффективных методов поиска минимума для очень сложных, негладких, с оврагами и хребтами функций, методам подбора коэффициентов штрафа и тактике их изменения в процессе решения задачи. Эта работа продолжается, и в настоящее время ее перспективы еще не ясны. Идея метода штрафных функций имеет своих сторонников, которые надеются преодолеть технические сложности минимизации штрафного функционала. Одновременно начало развиваться и другое направление, в котором либо совсем не используют штрафных функций, либо стараются учесть методом штрафа как можно меньше условий. Разумеется, это потребовало определенного сужения класса задач. [52]