Cтраница 1
Аксиоматический метод строится на основе ряда аксиом. В нем строго определяются операторы поля однако уравнение Шредингера в нем не используется. [1]
Аксиоматический метод как раз использует эту формулу. [2]
Аксиоматический метод состоит попросту в том, чтобы собрать полностью те основные понятия и основные условия, из которых могут быть дефиниторным или же дедуктивным путем выведены все без исключения понятия и предложения данной науки. Если это осуществимо, то Гуссерль называет соответствующую область вещей дефинитной. Так, например, обстоит дело с учением о пространстве. [3]
Аксиоматический метод явно содержит аксиому индукции А5, в то время как при алгебраическом абстрагировании она отсутствует. Это объясняется тем, что при алгебраическом абстрагировании описание типа функции осуществляется в синтаксической части спецификации, откуда легко вывести аксиому индукции. [4]
Аксиоматический метод является первым шагом, ведущим к уточнению построения математических теорий. В интуитивных математических теориях нет четкой границы между тем, что оче видно, и тем, что нуждается в доказательстве. В аксиоматических теориях принимается система элементарных понятий, ха растеризуемых некоторым множеством аксиом. Другие понятия определяются посредством этих элементарных понятий. Утверждения, являющиеся следствием аксиом, называются теоремами теории. Все свойства какого-нибудь понятия, не выраженные в аксиомах, требуют доказательства. [5]
Аксиоматический метод излагается в Приложении в конце настоящей книги. Там дается представление о всей системе аксиом геометрии и о так называемой неевклидовой геометрии, к которой приводит замена одной из аксиом ( так называемой аксиомы параллельности) утверждением, ее отрицающим. [6]
Аксиоматический метод применяется и в некоторых областях прикладного знания. [7]
Аксиоматический метод закладывает фундамент и для лежащего в основе аналитической геометрии метода координат. [8]
Аксиоматический метод придает этой теории точность и четкость выражений и позволяет выводить следствия из принятых положений. Используя формальные зависимости, алгоритмы, правила выводов, аксиоматический метод обеспечивает оптимальную организацию и систематизацию научных знаний и определяет путь доказательного решения научных задач. Аксиоматика является одним из ценных современных методов организации научного знания. Во многих областях науки этот метод находит широкое распространение, особенно в области логико-математических наук. В построении раздела доказательной и строгой теории обучения достаточно обоснованным является использование в качестве исходных аксиоматических положений некоторых основных принципов обучения. [9]
Аксиоматический метод в дидактических исследованиях позволяет устанавливать связи и отношения компонентов изучаемых систем и является ценным средством научного формирования строгих и точных закономерностей. [10]
Аксиоматический метод, правда, отнюдь не в его современном виде, известен широкой публике из школьного курса геометрии. Основная черта этого метода состоит в том, что каждое утверждение - теорема - доказывается чисто умозрительным путем, а именно посредством логического вывода этой теоремы из ранее доказанных теорем. Но так как этот процесс должен с чего-то начинаться, то некоторые утверждения, именуемые аксиомами, принимаются без доказательства, а уже остальные теоремы доказываются затем логическим путем. Аксиомы при этом обычно обосновываются ссылкой на очевидность. [11]
Аксиоматический метод излагается в Приложении в конце настоящей книги. Там дается представление о всей системе аксиом геометрии и о так называемой неевклидовой геометрии, к которой приводит замена одной из аксиом ( так называемой аксиомы параллельности) утверждением, ее отрицающим. [12]
Аксиоматический метод закладывает фундамент и для лежащего в основе аналитической геометрии метода координат. Ради простоты рассмотрим вопрос о введении координат на прямой. Возможность введения координат на прямой основывается на возможности установления взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел. Доказательство возможности установления такого соответствия базируется на аксиомах геометрии и на аксиомах ( свойствах) множества вещественных чисел 3) и приводится в Приложении к настоящей книге. [13]
Аксиоматический метод является первым шагом, ведущим к уточнению построения математических теорий. В интуитивных математических теориях нет четкой границы между тем, что очевидно, и тем, что нуждается в доказательстве. В аксиоматических теориях принимается система элементарных понятий, характеризуемых некоторым множеством аксиом. Другие понятия определяются посредством этих элементарных понятий. Утверждения, являющиеся следствием аксиом, называются теоремами теории. Все свойства какого-нибудь понятия, не выраженные в аксиомах, требуют доказательства. [14]
Аксиоматический метод Гильберта упрощает изучение математики, поскольку сводит изучение нескольких различных математических теорий к изучению одной, более абстрактной и потому более понятной теории. В то лее время он выделяет роль исходной системы аксиом и требует явного ее описания. [15]