Cтраница 2
Основной математический аппарат, используемый для решения детерминированных задач, включает: вариационное исчисление, принцип максимума, динамическое программирование, методы функционального анализа. [16]
В одной важной статье Лакса и Рихтмайера [1956] развита теория устойчивости и сходимости линейных разностных уравнений, основанная на понятиях и методах функционального анализа. Здесь мы дадим только очень беглое описание идей и результатов этой статьи, так как полное изложение потребовало бы слишком много места ( см. также разд. [17]
Выдающиеся успехи современной теории топологических групп были бы невозможны, если бы эта теория не опиралась в своих построениях на результаты, достигнутые методами функционального анализа при изучении различных пространств функций на топологической группе. При этом изучении фундаментальное значение имеют теоремы Хаара и Неймана об инвариантных мерах, устанавливаемые теоретико-множественными и функциональными методами. Напомним, что для прогресса, осуществленного в теории топологических компактных групп, решающее значение имела теория унитарных представлений таких групп, построенная Петером и Вейлем путем изучения интегральных уравнений на топологической группе. Существование достаточного числа непрерывных характеров у коммутативной локально компактной группы было получено впервые методами функционального анализа. [18]
Для указанных задач доказаны теоремы существования, в изотропном случае - методом сингулярных потенциалов и сингулярных интегральных уравнений, для анизотропных тел - методами функционального анализа. [19]
В отличие от имеющихся задачников по уравнениям математической физики, в данном сборнике широко представлены задачи, в которых используется теория обобщенных функций и методы функционального анализа. [20]
Данная работа написана под влиянием книги Е. А. Барбашипа [6], где при исследовании упомянутой выше задачи о накоплении возмущений для уравнения ( 2) систематически применяются методы функционального анализа. В работе [4] отмечена необходимость детального изучения упомянутой задачи для уравнения ( 1) и указан ряд трудностей, возникающих при этом. [21]
В аналитической химии органических соединений широко применяют методы функционального анализа, или структурно-группового, цель которого - качественное и количественное обнаружение и определение различных функциональных групп в анализируемой пробе или в отдельных компонентах пробы. Методы функционального анализа имеют важное самостоятельное значение, особенно при анализе различных природных и промышленных объектов и в научных изысканиях при исследовании вновь синтезированных соединений. Идентификацию функциональных групп осуществляют методами УФ - и ИК-спектроскопии, ЯМР, газовой хроматографии, электрохимическими методами. Очень часто функциональную группу нельзя определить непосредственно, тогда перед анализом с помощью химической реакции ее превращают в форму, удобную для анализа. [22]
Основное место в книге занимают уравнения Винера-Хопфа. Методы функционального анализа позволяют получить эти результаты, а также результаты о других конкретных классах уравнений в свертках в одной общей схеме. В основу этой схемы положено своеобразное неклассическое операционное исчисление, объектами которого служат функции от односторонне обратимых операторов. [23]
Вторую тему книги составляют проекционные методы решении уравнений в свертках. Методы функционального анализа позволяют и здесь построить общую схему. Абстрактной основой этой схемы опять служит упомянутое неклассическое операционное исчисление. Среди рассмотренных проекционных методов особое внимание уделяется методу Галеркина и методу редукции. [24]
Важнейшие направления нелинейного функционального анализа освещены в обзоре по вариационному исчислению. Применения методе функционального анализа к дифференциальным уравнениям обыкновен - j ным и в частных производных, приближенным вычислениям освещен в основном в соответствующих обзорах. [25]
Обширный цикл работ посвящен исследованию линейных эллиптических и параболических уравнений, вырождающихся на границе области. В связи с изучением таких уравнений методами функционального анализа возникла теория весовых функциональных пространств. В частности, указанным вопросам были посвящены работы М. В. Келдыша [61], С. Г. Михлина [91], М. И. Винтика [12], Л.Д.Кудрявцева [73, 74], С.М.Никольского [95, 96], А. В. Бицадзе [9], В. П. Глушко [ 171, В. А. Кондратьева [64], В. Г. Мазьи [ 891 и многих других математиков. [26]
Важной особенностью функционального анализа является общая абстрактная форма рассмотрения проблем анализа, позволяющая единообразно исследовать далекие, казалось бы, друг от друга вопросы. Именно поэтому сегодня идеи, концепции и методы функционального анализа пронизывают чуть ли не все области математики, объединяя их в целое. [27]
В построении математических моделей функционирования главное внимание обращается не на использование, а на методологию применения методов функционального анализа. Принято считать, что во всех случаях лучше всего применять методы функционального анализа в их наиболее чистом, простом и фундаментальном виде. Уравнения, полученные из исходных формул, а также специальные и сложные уравнения используются в частных случаях, и в соответствующих конкретных условиях они оказываются полезными. [28]
Одной из важнейших методических задач в аналитической химии является идентификация вещества, присутствующего в анализируемой пробе в чистом виде или в смеси, и его количественное определение. В аналитической химии органических соединений для решения этих задач широко применяются методы функционального анализа, цель которого - количественное и качественное определение содержания различных функциональных групп в анализируемой пробе или в отдельных компонентах пробы. [29]
Теорию базиса и вообще биортогональных систем следует рассматривать как один из вопросов теории аппроксимаций в абстрактной постановке функционального анализа. Следует указать, что в последнее время в работах советских математиков общие идеи и методы функционального анализа все чаще и чаще используются для решения конкретных вопросов теории приближения. [30]