Cтраница 2
При управлении производственными процессами приходится выбирать из всех возможных вариантов какой-то наилучший ( оптимальный) вариант, что, естественно, потребовало развития такого раздела математики, как вариационное исчисление. Известно, что методы классического вариационного исчисления не позволяли учитывать при решении задач многие ограничения, реально существующие в управляемых процессах. В силу этого математический аппарат вариационного исчисления применялся при проектировании систем управления крайне редко и давал весьма ограниченный эффект, да и то лишь в частных задачах с применением искусственных приемов. [16]
Задача быстродействия решена на основе принципа максимума для линейной зарядной системы второго порядка при пренебрежении индуктивностью в зарядной цепи. Задача о КПД решена методами классического вариационного исчисления также для системы второго порядка при пренебрежении инерционностью обмотки возбуждения и отсутствии корректного учета граничных условий. Допущения, сделанные в обоих случаях, сильно ограничивают практическую применимость полученных результатов. Поэтому в данном примере обе задачи решаются поисковыми методами, не требующими указанных выше допущений. [17]
Задачи оптимального управления являются задачами минимизации на множестве функций. В некоторых случаях эти задачи могут быть решены методами классического вариационного исчисления. Однако чаще всего задачи оптимального управления ставятся как задачи минимизации при ограничениях на состояния или функцию управления. [18]
В главе 9 излагается теория детерминированных оптимальных систем управления. В ней приводятся постановка и классификация задач оптимального управления, методы классического вариационного исчисления, принцип максимума и метод динамического программирования. Здесь рассматриваются вопросы наблюдаемости, восстанавливаемости и обнаруживаемости, задачи максимального быстродействия, синтез оптимальных систем по интегральному квадратичному критерию и по критерию обобщенной работы. [19]
Дг), о которых имеется полная априорная информация. Решение сводят к поиску условных экстремалей функционалов, для чего привлекаются методы классического вариационного исчисления, динамического программирования и принцип максимума. Эти задачи и методы их решения будут изложены далее. [20]
В этом случае управление нельзя варьировать произвольным образом и, следовательно, методы классического вариационного исчисления неприменимы. Предполагается, что / и р удовлетворяют ограничениям (3.21) гл. Так как значения u ( t) в точках разрыва не влияют на величину критерия качества (5.2), то значение управления в точках разрыва можно доопределить произвольно. [21]
Как правило, в конкретных физических объектах множество U замкнуто. Эта замкнутость и не позволяет в общем случае исследовать поведение управляемого объекта методами классического вариационного исчисления. Кроме ограничения вида (1.2) могут быть наложены ограничения на зависимость управления u ( t) от времени. [22]
В различных разделах физики и техники встречаются задачи, в которых параметры, определяющие течение исследуемого процесса, нужно выбрать наилучшим в том или ином смысле образом. Эти задачи, являясь вариационными по своему содержанию, не могут быть решены методами классического вариационного исчисления. Основой этого метода является так называемый принцип максимума. [23]
Теория оптимального управления является сравнительно молодой научной дисциплиной. У ее истоков стоит известный российский ученый А.А. Фельдбаум [64], который получил первые результаты по синтезу оптимальных по быстродействию систем. Большой заслугой А.А. Фельдбаума является также то, что он одним из первых обратил внимание на специфику задачи оптимального управления, на невозможность решения этой задачи методами классического вариационного исчисления. [24]
Уравнения Эйлера выведены для условий, когда режимные ограничения отсутствуют. Кроме того, согласно вариационному исчислению, при наличии ограничений в форме неравенств, должны дополнительно соблюдаться так называемые уравнения трансверсальности. Последние уравнения отражают условия наилучшего сопряжения линий оптимального режима ( экстремалей) с линиями режимных ограничений в зонах, где режимные ограничения в форме неравенств сказываются. Число уравнений трансверсальности равно числу указанных точек сопряжения экстремалей, поэтому в сложных задачах число уравнений трансверсальности может быть очень большим. Кроме того, заранее не известны точки сопряжения экстремалей, и Приходится записывать уравнения трансверсальности для всех возможных точек сопряжения экстремалей. В силу этого для сложных задач практический учет ограничений в форме неравенств методами классического вариационного исчисления невозможен, и поэтому приходится искать иные решения. Учет ограничений в форме равенств в классическом вариационном исчислении возможен с помощью известных множителей Лагранжа. [25]