Cтраница 1
Методы проекции градиента очевидно применимы к задачам дискретного оптимального управления; при этом вычисление производных осуществляется точно тем же способом, что и в случае метода возможных направлений. За подробностями мы отсылаем читателя к разд. [1]
В этом разделе метод проекции градиента в пространстве состояний, изложенный в разд. Оптимизация рамных конструкций, состоящих из стальных секций с широкими полками, будет рассмотрена в рамках линейной теории упругости. Рассматриваются ограничения на напряжения, устойчивость, смещения, собственную частоту колебаний и допустимые пределы переменных проектирования. [2]
Однако для частных классов задач метод проекции градиента был предложен намного раньше. Эти частные классы выделяются тем, что задача проектирования, аналогичная задаче ( 11) - ( 13), оказывается более простой и решается привычными вычислительными методами. [3]
Примеры численного решения задач оптимального проектирования методами проекции градиента будут приведены в гл. [4]
Показать, что выражения, определяющие множители Лагранжа в методе проекции градиента ( см. (2.64)) и методе, использующем критерий оптимальности ( см. (4.104)), совпадают. [5]
Сравнивая (4.116) с выражением для множителей Лагранжа, используемым в методе проекции градиента ( см. (2.64)), получим, что эти два выражения совпадают. [6]
Это направление впервые было предложено Розеном ( I960) в его методе проекции градиента и составляет основу непосредственного обобщения классической схемы наискорейшего спуска на задачу минимизации при линейных ограничениях. [7]
J ( u) на множестве ИфЕт, близкий по своей идее к методу проекции градиента. [8]
Результаты для случая ( I) показаны в табл. 3.3. Решения подзадачи получены с использованием того же метода проекции градиента, который использовался для внешней процедуры. Было замечено, что ограничение на смещение по 22 при угле нагрузки а90 близко к нарушению. Для обоих ограничений на смещение происходит выход на ограничение при а 0 и а 90 соответственно. В табл. 3.3 и 3.4 угол а дан в радианах, а величина байтах служит для контроля сходимости решений внутренних задач методом проекции градиента. [9]
К сожалению, этот метод не обеспечивает заведомой сходимости даже в тех случаях, когда гарантирована сходимость как метода градиентного спуска, так и метода проекции градиента. Известный элементарный пример задачи одномерной минимизации х на положительной полуоси х 0 служит тому подтверждением. [10]
Анализ предыдущего параграфа показывает, что вычисления двумя подходами тесно связаны и что существует потенциальная возможность перехода от одного подхода к другому. В методе проекции градиента диагональная весовая матрица, вообще говоря, задается в начале процесса проектирования и остается неизменной для всех итераций. [11]
Зойтендейком и предназначается для поиска экстремума при наличии ограничений только типа неравенств. В отличие от метода проекции градиента, этот алгоритм перебирает не почти допустимые, а строго допустимые точки задачи, причем, если в методе проекции градиента ( применительно к задаче с неравенствами) направление спуска, по сути дела, выбирается из некоторой аппроксимации пересечения конусов возможных направлений и направлений убывания целевой функции, то в методе Зойтендейка оно просто-напросто принадлежит этому пересечению. [12]
Хорошие результаты при решении этой задачи дает метод проектирования сопряженных градиентов. Этот метод отличается от изложенного ранее метода проекции градиента тем, что на множество u 0 проектируют не градиенты минимизируемой функции, а сопряженные градиенты. [13]
Учет ограничений производится методами условной оптимизации, которые в отличие от методов безусловной оптимизации, предназначены специально для оптимизации при наличии ограничений. К методам условной оптимизации относятся методы возможных направлений, методы проекции градиентов и другие методы, более подробно рассмотренные в следующей главе. [14]
Только в методе наискорейшего спуска, осуществляющем поиск безусловного минимума, это направление есть антиградиент, а в методе проекции градиента, решающем задачи условной оптимизации, оно определяется с учетом ограничений и получается в результате ортогонального проектирования антиградиента на некоторое линейное многообразие. Последнее аппроксимирует участок границы допустимой области, параллельно которому будет сделан шаг на очередной итерации. Поскольку граница нелинейна, этот шаг, вообще говоря, выведет из допустимого множества, даже если исходная точка принадлежит ему. Таким образом, в методе проекции градиента возможно движение по недопустимым точкам. Однако степень нарушения ограничений строго контролируется и сохраняется малой за счет корректировок и ограничения длин шагов. [15]