Cтраница 3
Естественно, что более сложные задачи теплопроводности с изменением агрегатного состояния решались и решаются лишь в результате развития приближенных методов. Следует указать, как наиболее важные, разработанные Л. С. Лейбензоном методы приближенного решения, позволяющие получить простые решения ряда задач, имеющих практическое значение, и разработанный В. С. Лукьяновым метод гидравлических аналогий, позволяющий получать решения ( посредством применения гидравлического интегратора) практически важных, но весьма сложных задач, в том числе и двухмерных. [31]
Задача с разрывной правой частью, таким образом, сведена к стандартной - зависимость правой части от t, как уже отмечалось, никаких осложнений не вносит. На этом можно было бы и закончить анализ, однако некоторые методы приближенного решения вариационных задач болезненно реагируют на увеличение числа дополнительных условий; поэтому мы проведем выкладки, позволяющие избежать этого. [32]
Изложенное ( кратко) положение обусловило необходимость разработки и внедрения в практику проектирования и эксплуатации трубопроводных систем таких методов и реализующих их средств вычислительной техники, которые давали бы точное или по крайней мере приближенное ( с необходимой для инженерной практики точностью) решение анализируемой системы уравнений, исключающее указанные недостатки методов приближенного аналитического решения. В соответствии с этим ниже предлагаются построенные нами некоторые точные аналитические решения, автомодельные задачи и методы строгого и приближенного решения рассматриваемого класса уравнений. Последние явились той научной основой, которая позволила реализовать методы гибридного и квазианалогового математического моделирования и создать специализированные средства вычислительной техники. В результате были получены возможности для решения интересующего инженерную практику круга задач теории поля, возникающих в процессе проектирования и эксплуатации газопроводных систем. [33]
Дифференциальные уравнения, которые возникают при решении вариационных задач, редко удается проинтегрировать. В связи с этим возникает необходимость приближенного решения вариационных задач. Методы приближенного решения вариационных задач называют прямыми методами. [34]
В технике инженерных вычислений весьма редко приходится пользоваться приемами и формулами, дающими точные решения. В большинстве случаев методы решения уравнений, приводящие к точным результатам, либо слишком сложны, либо вообще отсутствуют. Обычно пользуются методами приближенного решения задач. [35]
Зная кристаллографическую симметрию, можно предсказать, какие магнитные структуры возможны в данном кристалле при переходе его в магнитоупорядоченное состояние посредством фазового перехода второго рода. Однако какая из возможных магнитных структур реализуется, сказать нельзя. В настоящее время имеются лишь методы частичного и приближенного решения этой задачи. [36]
Задачи механики сплошных сред сводятся. Приближенное решение краевых задач во многих случаях удается получить с применением так называемых прямых методов. По определению С. Л. Соболева, прямыми называются такие методы приближенного решения задач теории дифференциальных и интегральных уравнений, которые сводят эти задачи к конечным системам алгебраических уравнений. В теории и практике применения прямых методов особое место занимают два метода: метод Ритца и метод Галеркина. [37]
Численное решение многих математических задач, как известно, приводит к необходимости решать системы алгебраических и трансцендентных уравнений. В частности, такая необходимость появляется при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, вариационных задач и ряда других математических задач, возникающих в различных областях современного естествознания и техники. Эти задачи, как правило, не могут быть решены точно, и поэтому приходится применять к ним методы приближенного решения, которые в конечном счете часто приводят к системам алгебраических и трансцендентных уравнений. [38]
Законы движения микрочастиц даются квантовой механикой, которая позволяет рассчитать спектр энергий электронов, если известен закон изменения их потенциальной энергии. Эти расчеты усложняются тем, что необходимо принимать во внимание также и взаимодействие электронов между собой. Точное решение такого рода задач не по силам даже современным ЭВМ и вряд ли когда-либо будет возможно в будущем. Но в этом и нет необходимости, потому что удается разработать методы приближенного решения задачи, вполне удовлетворяющие практические потребности. Важно констатировать, что спектр существует и является дискретным для электронов, заключенных в конечной области пространства. Он определяет различные свойства тела, изучая которые экспериментально можно сделать заключение об его особенностях. Следовательно, энергетический спектр может быть изучен как теоретически, так и экспериментально. [39]
Исследование резонатора с учетом дифракционных явлений проводится, в основном, методом интегрального уравнения. Суть этого метода состоит в построении некоторого интегрального соотношения, которое определяет поперечное распределение комплексной амплитуды отдельных компонент вектора электрического или магнитного поля на одном из зеркал резонатора по известному распределению поля на другом зеркале. Этот метод наиболее удобен в случае, когда возмущающее действие отдельных оптически неоднородных элементов на проходящее поле можно описать путем умножения поля на некоторую функцию от поперечных координат. В главе мы коротко обсудим один из возможных вариантов вывода искомых интегральных соотношений, описывающих распространение световых пучков через оптические системы. Рассмотрим с помощью метода интегрального уравнения наиболее важные частные типы резонаторов и методы приближенного решения соответствующих интегральных уравнений, описывающих моды резонатора общего вида. [40]
В этой главе излагается минимальный теоретический материал, необходимый и достаточный для понимания всего остального, составляющего основное содержание книги. Тем, кто знаком с математической теорией оптимального управления, полезно познакомиться с этой главой, чтобы привыкнуть к принятой в книге терминологии и системе обозначений. Читатель, не разбиравший подробно первых глав этой монографии и знакомый с теорией по упрощенным изложениям в руководствах сугубо прикладного направления ( или совсем незнакомый с ней), должен основательно усвоить хотя бы содержание § § 1 - 7; без этого трудно будет понять все остальное. Это связано с существом дела. Читатель убедится, что математические тонкости доказательства принципа максимума, которые мы специально выделяем и подчеркиваем в § § 5, 6, имеют самое прямое отношение к приближенному решению задач. Кстати, из многих известных сейчас схем доказательства принципа максимума ( так же, как и других приведенных в книге теорем) автор специально отобрал не самые краткие, общие и изящные, но те, которые более или менее явно индуцируют методы приближенного решения. [41]
В этом разделе представлен ряд результатов численного исследования взаимодействия сверхзвукового потока со сверхзвуковым точечным источником. Задачи такого рода возникают в многочисленных астрофизических приложениях, когда звезда - эжектор заряженных частиц - движется сквозь межзвездную среду. Наше Солнце принадлежит именно к таким звездам. Поток частиц от звезды ( Солнца) принято называть звездным ( солнечным) ветром. Для солнечного ветра это, во-первых, связано с возможностью сравнения численных моделей взаимодействия с непосредственными измерениями, проводимыми космическими аппаратами. С другой стороны, сложная структура течения, содержащего несколько разрывов, делает эту задачу прекрасным предметом исследования с применением современных численных методов как в чисто газодинамическом, так и в МГД-случаях. Представленные ниже решения получены с помощью MUSCL TVD-схемы, использующей для нахождения потоков через грани вычислительных ячеек метод Роу приближенного решения задачи Римана. [42]