Cтраница 2
Это обстоятельство дает определенное преимущество операторным методам. [16]
Задачей изложения основных понятий о переходных процессах является исследование этих процессов и выяснение физических представлений о них. Для исследования процессов широко применяются классический метод решения дифференциальных уравнений, описывающих процессы, и операторные методы, реже - частотные, а также векторно-матричные методы ( см. § 1 - 6), особенно удобные для расчетов на цифровых вычислительных машинах. [17]
Многие книги используют операторные методы. Мы используем лишь операторы Л и Е в нескольких простых конечных случаях и тщательно избегаем применения подозрительных бесконечных процессов с символическими операторами. Операторные методы часто являются многообещающими, но их применение предполагает хорошее знакомство с ними, которого потребитель может и не иметь. Кроме того, автор полаг ает, что формальные манипуляции часто скрывают смысл формул и, следовательно, затрудняют понимание исследуемой задачи. [18]
Естественно, что для доказательства новых положений подземной термодинамики нужно привлечь математический аппарат. В последнее время операторные методы с большим успехом внедряются как в физике, так и в технике. [19]
Существует много учебников по операторному исчислению и его применению к расчету переходных процессов. Некоторые из них указаны в библиографическом списке в конце книги; интересующиеся могут воспользоваться этими пособиями для ознакомления с методами точного математического исследования сложных переходных явлении. В настоящее время эти операторные методы непосредственно применимы только к линейным задачам. [20]
Другое дело поправки более высокого порядка к этим уравнениям, которые требуют более осторожного применения теории возмущений. Наш эвристический подход мы сохраним и в остающейся части глав. Затем мы покажем, как можно формально вывести эти результаты, используя функциональные или операторные методы. [21]
Разностное уравнение в форме (6.5), содержащее х ( п) и х ( п k), называют разностным уравнением k - го порядка. Порядок разностного уравнения (6.4) в общем случае может не совпадать с порядком наивысшей разности, которая входит в него. Классические методы решения разностных уравнений во многом аналогичны классическим методам решения дифференциальных уравнений. Широко используются операторные методы решения разностных уравнений, основанные на переходе от решетчатых функций к их изображениям. [22]
Разностное уравнение в форме (6.5), содержащее х ( п) и х ( п К), назы-вают разностным уравнением k - го порядка. Порядок разностного уравнения (6.4) в общем случае может не совпадать с порядком наивысшей разности, которая входит в него. Классические методы решения разностных уравнений во многом аналогичны классическим методам решения дифференциальных уравнений. Широко используются операторные методы решения разностных уравнений, основанные на переходе от решетчатых функций к их изображениям. [23]
При анализе процессов в цепях подлежит определению реакция ( отклик) цепи на входное воздействие в виде сигнала заданной формы. Эта реакция выражается в значениях тех или иных напряжений u ( t) и токов i ( t) в различные моменты времени. Определение мгновенных значений напряжения и тока сложной формы производится специальными методами, которые рассматриваются в настоящей главе. К ним относятся спектральные, временные и операторные методы. [24]
Одним из наиболее адекватных подходов, позволяющих дать последовательную интерпретацию классических решений в квантовой теории поля, является формализм функционального интегрирования. В рамках этого формализма роль классических решений уравнений поля состоит в том, что они представляют собой нетривиальные седловые точки функционального интеграла. Интегрирование вблизи седловых точек приводит к квазиклассическому разложению функционального интеграла, законному, как правило, в теориях со слабой связью. Одним примером использования этого подхода служит квазиклассическое квантование солитонов, которое, впрочем, может быть выполнено и операторными методами. В этом Дополнении мы остановимся на другом круге задач, для решения которых метод функционального интегрирования незаменим, - вычислении инстантонных эффектов в квантовой теории поля. Использование функционального интеграла в этих случаях позволяет не только найти главную квазиклассическую экспоненту туннелирования ( последняя была основным интересующим нас объектом в главах 11 - 13), но и вычислить, хотя бы в принципе ( а иногда и явно), предэкспоненциальный фактор и следующие поправки квазиклассического разложения. Кроме того, в рамках метода функционального интегрирования удается выяснить ряд нетривиальных свойств инстантонных вкладов в функции Грина квантовых полей. [25]
Одним из наиболее адекватных подходов, позволяющих дать последовательную интерпретацию классических решений в квантовой теории поля, является формализм функционального интегрирования. В рамках этого формализма роль классических решений уравнений поля состоит в том, что они представляют собой нетривиальные седловые точки функционального интеграла. Интегрирование вблизи седловых точек приводит к квазиклассическому разложению функционального интеграла, законному, как правило, в теориях со слабой связью. Одним примером использования этого подхода служит квазиклассическое квантование солитонов, которое, впрочем, может быть выполнено и операторными методами. В этом Дополнении мы остановимся на другом круге задач, для решения которых метод функционального интегрирования незаменим, - вычислении инстантонных эффектов в квантовой теории поля. Использование функционального интеграла в этих случаях позволяет не только найти главную квазиклассическую экспоненту туннелирования, но и вычислить, хотя бы в принципе ( а иногда и явно), предэкспоненциальный фактор и следующие поправки квазиклассического разложения. Кроме того, в рамках метода функционального интегрирования удается выяснить ряд нетривиальных свойств инстантонных вкладов в функции Грина квантовых полей. [26]