Cтраница 3
Как упомянуто выше, система Эйлера уравнений газовой динамики имеет гиперболический тип и часто встречается в различных механических приложениях. Более того, из-за важности этой системы для моделирования аэродинамических течений и принимая во внимание ее относительную простоту, численные методы решения уравнений газовой динамики весьма развиты по сравнению с методами для более сложных гиперболических систем, представляющих механический интерес. По этим причинам методы с выделением разрывов для уравнений Эйлера, описывающих течения идеального газа и химически реагирующих смесей, будут рассмотрены отдельно в гл. Ниже обсуждаются лишь некоторые общие черты метода с выделением плавающих разрывов. [31]
Прямым отражением значительного расширения приложений интегральных уравнений Вольтерры является наблюдаемый в последние два десятилетия быстрый рост интереса к их теории и методам решения со стороны специ алистов в области чистой и прикладной математики, а также в многочисленных прикладных областях научных исследований и проектных разработок. Специфика задач, описываемых данным классом уравнений, такова, что в настоящее время не вызывает сомнений необходимость проведения самостоятельных исследований по теории и численным методам решения уравнений Вольтерры, несмотря на то что они представляют собой, по существу, частный случай уравнений Фредгольма. [32]
Однако лишь в отдельных случаях решение этого уравнения удается найти в явном виде. Как правило, задача отыскания корней уравнения f ( x ] О примерно так же сложна, как и задача минимизации функции /, и любую из этих задач приходится решать численно. Таким образом, численные методы решения уравнений можно использовать для решения задач минимизации, но методы, разработанные специально для задач минимизации, являются более эффективными. [33]
Вычисление функций типа (5.2), входящих в принужденные составляющие решений, производят по формальным правилам, основанным на идее последовательного удвоения шага. Но эти процедуры могут представлять определенные трудности в том случае, когда подобные функции имеют достаточно сложный вид. В этом случае иногда целесообразнее использовать не численно-аналитические, а численные методы решения уравнений состояния ( см. гл. Однако нужно заметить, что численным методам также присущи недостатки. В частности, эффективность многих из них зависит от некоторых свойств матрицы А в уравнении (5.1), не известных заранее исследователю. Рассмотренные же численно-аналитические методы являются в этом отношении более надежными, но, главное, они позволяют всесторонне исследовать свойства уравнений состояния. [34]
Данный задачник отличается от подобных изданий тем, что в него впервые включены задачи, решаемые с помощью ЭВМ. Для их решения студенты должны иметь подготовку по основам программирования, знать алгебру матриц и численные методы решения уравнений. Краткие сведения из алгебры матриц приводятся в Приложении. [35]
Методы решения уравнений поля подразделяются на аналитические и численные. Аналитические методы позволяют получить удовлетворительные результаты при умеренных электромагнитных нагрузках для электрических машин со слабо выраженной нелинейностью сред. В тех случаях, когда нельзя пренебречь нелинейностью сред и влиянием электромагнитных нагрузок, применяются численные методы решения уравнений поля. Численные методы могут эффективно использоваться и для решения линейных задач в случаях, когда аналитические методы оказываются слишком сложными. [36]
Магнитное поле электрической машины трехмерное, переменное во времени. Для аналитического решения общая система уравнений магнитного поля слишком сложна. Магнитное поле в каждой из областей рассматривается независимо. Если нельзя пренебречь нелинейностью сред, применяются численные методы решения уравнений магнитного поля, которые могут эффективно использоваться и для решения линейных задач в случаях, когда аналитические методы оказываются слишком сложными. На расчете магнитных полей базируется определение параметров электромагнитных сил и потерь в электрических машинах. [37]
Далее в основном будем использовать модели, для которых возможно получить аналитическое решение. Это позволяет провести их качественный анализ, выявить основные свойства уравнений. Численные методы решения уравнений здесь практически не используются ( это задача специального курса вычислительной математики), хотя численный эксперимент широко используется в практике исследований. [38]
Тип модели, которая разрабатывается для представления какой-либо определенной физической системы, зависит от постановки задачи и налагаемых ограничений. После того как сформулирована базисная качественная модель, математические уравнения для модели могут быть выведены из фундаментальных физических принципов или из экспериментов, проводимых с компонентами системы. В общем случае математические уравнения, описывающие систему, могут иметь различную форму: это могут быть линейные или нелинейные уравнения, обычные или дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях и другие уравнения. Если информацию предполагается получить из модели, то уравнения, записанные одним из указанных выше способов, необходимо решить. Однако многие из этих уравнений не имеют аналитического ( в математическом смысле) решения. Вследствие этого рассматриваемая область является именно той областью, где существенную роль играют численные методы ОД при помощи компьютера. Так, в статье [59] обсуждаются численные методы решения уравнения диффузии - конвекции, описывающего дисперсию в цилиндрической трубке, которая играет важную роль в аналитических методах, основанных на весьма популярной в настоящее время методике анализа в потоке. [39]
До моделирования нефтяного пласта на вычислительной машине необходимо иметь математическую модель системы, составление которой - цель настоящей главы. Движение флюидов в пористых средах определяется теми же фундаментальными законами, по которым происходит, например, их движение в атмосфере, трубопроводах и реках. С практической точки зрения совершенно безнадежно в настоящее время пытаться приложить эти основные законы непосредственно к задачам о течении флюидов в пористых средах. Вместо этого используется полуэмпирический подход, в котором взамен уравнения момента применяется закон Дарси. Такие исследования позволяют лучше понять ограниченность эмпирических соотношений. Наряду с указанными соотношениями должны быть известны физические параметры флюидов, находящихся в системе, как функции зависимых переменных. В данной книге приведены только математические модели, заведомо имеющие большое практическое значение. Численные методы решения уравнений этих моделей обсуждаются в гл. Краткий вывод уравнений, которые позже предстоит решать, дан в разделе 2.2. Мы ограничимся случаем изотермической одно -, двух - и трехфазной фильтрации несмешивающихся флюидов. В этом контексте представляют интерес следующие однофазные и многофазные системы: газ, нефть, вода, газ - нефть, газ - вода, нефть - вода, нефть - вода - газ. [40]