Cтраница 2
Докажите, что топологическое пространство X паракомпактно и полно по Чеху в том и только том случае, если оно допускает совершенное отображение на некоторое метризуемое полной метрикой пространство. [16]
Докажите, что для каждого а О ( каждого а 1) метризуемое пространство X - абсолютно мультипликативного ( аддитивного) класса а в том и только том случае, если существует гомеоморфное вложение / г: Х - У пространства X в метризуемое полной метрикой пространство У, такое, что образ h ( X) есть множество мультипликативного ( аддитивного) класса а в У. [17]
При помощи теоремы 3 легко доказывается, что ТВП С ( R1) и D [ а, Ь ] полны. Полнота метризуемого ТВП Ьш легко доказывается после результатов главы IV о полноте пространств J. [18]
Всякое метризуемое пространство паракомпактно ( гл. В метризуемом пространство всякая точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей и каждое замкнутое множество есть пересечение счетного семейства открытых множеств. Эти необходимые условия метризуемости топологического пространства не являются достаточными. [19]
Любое ЛТП можно стандартным образом. При этом пополнение метризуемого ЛТП будет пространством Фреше, пополнение нормированного пространства будет банаховым, а пополнение предгильбертова пространства - гильбертовым. [20]
У - пространство, метризуемое полной метрикой, и Аа X, С с: У - произвольные подпространства. [21]
Топологическое пространство Т называется метризуемым, если топология Т порождается метрикой. Локально выпуклое пространство метризуемо в точности тогда, когда его топология может быть задана счетным набором полунорм. Полное метризуемое локально выпуклое пространство называется пространством Фреше. [22]
Локально выпуклое пространство Е наз. Всякое сильное сопряженное к метризуемому локально выпуклому пространству является дуально метрическим; обратное неверно. [23]
ЛТП называется локально ограниченном, если в нем существует ограниченная окрестность нуля IF. В этом случае для любой последовательности чисел ап0, стремящейся к нулю, множества anW составляют базу окрестностей нуля. Следовательно, любое локально ограниченное ЛТП метризуемо, а локальная ограниченность ЛВП эквивалентна нормируемости. Поэтому, если метризуемое ЛВП не нормируемо, то шары в нем не ограничены. В нормированном пространстве эти понятия эквивалентны, в линейном метрическом пространстве с инвариантной метрикой топологическая ограниченность влечет метрическую. [24]