Cтраница 1
Проективная метрика псевдоевклидова пространства lRn определяется абсолютом, состоящим из совокупности ( ге - 1) - плоскости и вещественной ( и-2) - квад-рики в этой плоскости, поэтому проективная метрика соответствующего двойственного К. Абсолютный конус делит К. Изотропные плоскости псевдоевклидова пространства изображают точки абсолюта lRn - В зависимости от расположения относительно абсолютного конуса и абсолютной точки ( вершины) различают четыре типа прямых: эллиптические прямые, пересекающие абсолютный конус в двух мнимо сопряженных точках; гиперболически е п р я м ы е, пересекающие абсолютный конус в двух вещественных точках; параболические прямые, проходящие через абсолютную точку; изотропные прямые - параболические, к-рые касаются абсолютного конуса. [1]
В 3-пространстве 1R3 проективная метрика на плоскости является гиперболической, на прямой - эллиптической, а метрика в пучках плоскостей - параболической ( псевдоевклидовой) метрикой. [2]
Rn является пространством с проективной метрикой, к-рая задается в соответствии с общей схемой введения проективных метрик. Если проективная метрика евклидова пространства Rn определяется абсолютом, состоящим из совокупности ( п - 1) - плоскости и ( и - 2) - мнимой квадрики в этой плоскости, то проективная метрика К. Rn определяется двойственным абсолютом: мнимым конусом 2-го порядка, к-рый наз. [3]
Геометрия 3-пространства 8з определяется эллиптической проективной метрикой на прямых, коевклидо-вой - на плоскостях и евклидовой - в связках плоскостей. Геометрия 3-пространства Ss совпадает с евклидовой, а геометрия 3-пространства 8з - с геометрией коевклидова 3-пространства. Пространство Sa с радиусом кривизны 1 / а изометрично связной группе движений евклидовой 2-плоскости со специально введенной метрикой. [4]
КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО - проективное n - пространство, проективная метрика к-рого определяется абсолютом, состоящим из совокупности мнимого конуса ( абсолютный конус Q0) с ( п-т - 1) - вершиной ( абсолютная плоскость Г0) и мнимой ( п - т - 2) - квадрикой Qt на этой ( ге-та-1) - плоскости ( абсолютная квадрика Q); обозначается символом S, тл. При т0 абсолютный конус является парой слившихся ( п - 1) - плоскостей, совпадающих с ( п - 1) - абсолютной плоскостью Г0, а абсолюты совпадают с абсолютом евклидова - пространства. При тп-1 конус Qa является конусом с точечной вершиной, абсолют в этом случае совпадает с абсолютом коевклидова n - пространства. При т1 конус () 0 является парой мнимых ( п - 1) - плоскостей. [5]
Rn является предельным случаем как эллиптического пространства, так и Лобачевского пространства: проективная метрика К. R может быть получена предельными переходами из проективных метрик указанных пространств. [6]
Rn является пространством с проективной метрикой, к-рая задается в соответствии с общей схемой введения проективных метрик. Если проективная метрика евклидова пространства Rn определяется абсолютом, состоящим из совокупности ( п - 1) - плоскости и ( и - 2) - мнимой квадрики в этой плоскости, то проективная метрика К. Rn определяется двойственным абсолютом: мнимым конусом 2-го порядка, к-рый наз. [7]
Линдеманом, строит единую теорию, охватывающую теорию векторов во всех трех новых пространствах с проективной метрикой. [8]
Наш краткий обзор показывает, что геометрические работы Соммервилля и прежде всего его Классификация геометрий с проективными метриками определили развитие неевклидовой геометрии на много десятков лет и многочисленные неевклидовы пространства, изучавшиеся геометрами в течение этого времени, были введены в этой работе Соммервилля или были построены аналогично путем замены действительных координат элементами некоторых алгебр. [9]
В рабн тах по неевклидовой геометрии кругов за базу обычно принимают полярное пространство с основной поверхностью вещественной и нелинейчатой; автор показал, что с точки зрения проективной метрики такое полярное пространство недостаточно для изображения всех кругов и что остальной части кругов соответствует в эллиптическом случае полярное пространство с мнимой основной поверхностью, а в гиперболическом случае - полярное пространство с линейчатой основной поверхностью. [10]
Проективная метрика псевдоевклидова пространства lRn определяется абсолютом, состоящим из совокупности ( ге - 1) - плоскости и вещественной ( и-2) - квад-рики в этой плоскости, поэтому проективная метрика соответствующего двойственного К. Абсолютный конус делит К. Изотропные плоскости псевдоевклидова пространства изображают точки абсолюта lRn - В зависимости от расположения относительно абсолютного конуса и абсолютной точки ( вершины) различают четыре типа прямых: эллиптические прямые, пересекающие абсолютный конус в двух мнимо сопряженных точках; гиперболически е п р я м ы е, пересекающие абсолютный конус в двух вещественных точках; параболические прямые, проходящие через абсолютную точку; изотропные прямые - параболические, к-рые касаются абсолютного конуса. [11]
Rn является пространством с проективной метрикой, к-рая задается в соответствии с общей схемой введения проективных метрик. Если проективная метрика евклидова пространства Rn определяется абсолютом, состоящим из совокупности ( п - 1) - плоскости и ( и - 2) - мнимой квадрики в этой плоскости, то проективная метрика К. Rn определяется двойственным абсолютом: мнимым конусом 2-го порядка, к-рый наз. [12]
На плоскости R2 метрика расстояний ( на прямых) является проективной эллиптической, метрика углов - параболической. В пространстве Rl проективная метрика расстояний ( на прямых) - эллиптическая, в плоскостях - также эллиптическая, а в пучках плоскостей - параболическая. [13]
Под осью ( axis) конуса Соммервилль понимает вершинную плоскость конуса второго порядка, поэтому выражение ( д, г) - конус обозначает ( п - 1) - мерный копу, с ( г - 1) - мерной вершиной. В настоящее время пространства с проективной метрикой, абсолют которых состоит из мнимого ( п - 1) - мерного конуса с ( п - т - 1) - мерной вершиной и из мнимой квадрики на этой вершине, в развитие термина, введенного В. [14]
Rn является предельным случаем как эллиптического пространства, так и Лобачевского пространства: проективная метрика К. R может быть получена предельными переходами из проективных метрик указанных пространств. [15]