Cтраница 2
Убедиться, что эта метрика является локально евклидовой только при р 4, q 2 и найти при этих р и q ее изометрическое отображение на евклидову плоскость со стандартной метрикой. [16]
Этот кусочек й7в ( ф является, конечно, локальным неустойчивым многообразием точки с для системы е - grad / ( e), где градиент берется по отношению к римановой метрике, которая в терминах используемых локальных координат совпадает со стандартной метрикой в евклидовом пространстве ( и которая пока рассматривается только в соответствующей координатной окрестности), но построение этого неустойчивого многообразия в дан-ном случае тривиально. [17]
Вместе с тем основные утверждения Пуанкаре могут быть строго обоснованы для метрик, достаточно близких к стандартной. В отличие от 1) сейчас речь идет не об окрестности стандартной метрики в однопараметрическом семействе, но о ее окрестности в пространстве всех метрик. [18]
Существование деформаций этого вида для каждой нечетной начальной производной недавно доказал Гийемин в работе [200], используя мощные средства современного глобального анализа. Из результата Гийемина вытекает, в частности, что в достаточно малой окрестности стандартной метрики на сфере S2 существует весьма богатое семейство гладких метрик, удовлетворяющих 5С - свойству, но не допускающих никаких изометрий, кроме тождественного отображения. Отметим здесь, что это, по существу, лишь теорема существования, так как явных формул для этих метрик в [200] не приведено. Глубокое доказательство Гийемина основано на применении теоремы о неявных функциях для функциональных многообразий типа Фреше. [19]
Рассмотрим, например, двумерную сферу 52, представленную как пополненная комплексная прямая: R2 U оо. Тогда на 52 можно предъявить богатый запас гамильтоновых потоков ( по отношению к стандартной метрике на 52): следует рассмотреть поля вида gradRe ( / ( z)), gradlm ( / ( z)), где f ( z) - комплексно аналитическая функция переменной z х гу. [20]
Так же, как в случае R, у нас есть понятия конечного, бесконечно большого и бесконечно малого элементов Q. Но на этот раз мы должны быть более осторожны с понятием стандартной части, поскольку множество Q не полно в стандартной метрике. Пусть Qf обозначает множество конечных точек из Q, a Q / - множество бесконечно малых. [21]
Кажется весьма правдоподобным, однако, что требуется лишь предположение, что критическое множество в AM разлагается на невырожденные критические подмногообразия. Это заведомо так, если М - симметрическое пространство; мы покажем это в том частном случае, когда М - сфера со стандартной метрикой. [22]
В случаях dim V - - - 1 или п - 1, а для однородных пространств - всегда, Мп даже изометрично v ( N) со стандартной метрикой нормального расслоения. [23]
Но как быть, если поверхность близка к сфере. Метрику удобно задавать функцией следующего вида: / стандартная метрика. [24]
А совпадает с группой движении нек-рой подчиненной ей римановой метрики. Исключениями являются только стандартные конформные структуры А0 на сфере S и евклидовом пространстве Е, порожденные стандартными рнмановымн метриками. А плоская рпманова метрика. Вейля нск-рой ( а том самым и любой) подчиненной ей римановой метрики был равен нулю. Примерами локально плоских К. S, в пространстве Лобачевского Л, а также в пространствах A iX S i иЛ ХЯ1, порожденные стандартными метриками. [25]