Cтраница 2
Когда ж Е G стремится к какой-либо точке множества, величина v ( x ] стремится к оо. Это позволяет заключить, что емкость множества равна нулю. Доказательство того, что n - емкость множества Е равна нулю, опирается на свойство решений уравнений ( 10), характеризуемое неравенством Гарнака. [16]
К числу фундаментальных относятся исследования ( см. [34]), в к-рых изучается вопрос о возмущении спектра оператора Лапласа при изменении области. При этом впервые была выявлена роль емкости варьируемого множества на спектр оператора. Эти методы с успехом применяются при исследовании несамосопряженных задач. [17]
Валле-Пуссен ( Vallee-Poussin И) ввел понятие логарифмической емкости множеств; это понятие, изучавшееся затем в работах OpocTMana ( FrostmanW), Неванлинна [ М-17 ] и других авторов, оказалось очень полезным. Мы не будем здесь указывать, как надо находить величину логарифмической емкости множества, так как это нам не понадобится, нам нужно будет лишь уметь различать, имеет ли множество логарифмическую емкость положительной или равной нулю. [18]
Когда ж Е G стремится к какой-либо точке множества, величина v ( x ] стремится к оо. Это позволяет заключить, что емкость множества равна нулю. Доказательство того, что n - емкость множества Е равна нулю, опирается на свойство решений уравнений ( 10), характеризуемое неравенством Гарнака. [19]
D, в точке оо равен трансфинитному диаметру границы С области D, или емкости множества С. [20]
Гармонический синтез требует изучения разнообразных множеств, в том или ином смысле пренебрежимо малых. Так, обширный класс теорем синтеза утверждает, что функция при определенных условиях почти везде совпадает с суммой своего ряда Фурье. Бывает и так, что эта характеристика оказывается слишком грубой, и адекватную задаче характеристику пренебрежимости приходится искать среди хаусдорфовых мер или в теории потенциала - как некоторую емкость множества; нередко такая характеристика формулируется в теоретике - - числовых терминах. Трудно уловимые характеристики пренебрежимости исключительного множества бывают нужны и в связи с проблемами перевода. Ясно, что множество Хелсона обязано быть малым; уточнение этого смутного ощущения очень не просто и служит предметом весьма глубокой и тонкой теории. Это направление исследований восходит к Контору. [21]