Cтраница 3
Мы не касались того случая, когда для какого-нибудь многоугольника система сил PJ приводится к паре сил. В этом случае во всех точках рассматриваемого многоугольника функция Ф ( т, т) 2) сохраняет постоянное значение; оно может оказаться искомым минимумом. [31]
Вряд ли нужно повторять ( мы это уже объясняли во вступлении к тому I), что подозрение такого рода ни в коей мере нельзя рассматривать как доказательство. Поэтому решение конкретной задачи разбивается на два этапа: ( а) нахождение подозрительных траекторий и управлений и ( Ь) доказательство того, что они в самом деле дают искомый минимум. Так же как в томе I, главным является это доказательство. Однако, поскольку пока мы не располагаем общей теорией, то приходится надеяться, что свершится чудо, благодаря которому нам удастся доказать этот факт для двух частных задач, рассматриваемых в следующем параграфе. [32]
Процедура минимизации существенно упрощается, если имеются какие-либо предварительные приближенные оценки значений кон стант скорости. Такие оценки могут быть получены с помощью теории переходного состояния, с помощью корреляционных соотношений или просто по аналогии с изученными реакциями близкого типа. В этом случае минимизация начинается в окрестности искомого минимума, что существенно уменьшает число шагов в описанной пошаговой процедуре и повышает вероятность попадания именно в глобальный минимум. [33]
Различают два типа таких задач. Задачи, в к-рых надо находить минимальное ( или максимальное) значение / [ г ] ( напр. Для этих задач несущественно, на каких элементах z достигается искомый минимум; поэтому в качестве приближенных решений таких задач можно брать значения / [ z ] на любой минимизирующей последовательности. [34]
Это уравнение в силу одноэкстремальности функции (14.7) имеет единственный корень, величина которого определяет оптимальный размер партии. Рассмотрим расчет оптимальной величины партии по критерию минимума внутрисменных переналадок. Для деталей, обработка которых состоит из одной операции, искомый минимум достигается, если величина партии обеспечивает загрузку оборудования в течение всей смены. Но для межоперационных деталей трудоемкость отдельных операций, производимых над деталями, может в той или иной степени отличаться. [35]
Рассматриваются вынужденные колебания от неуравновешенности упругой гироскопической системы сложного вида. Минимизация амплитуд колебаний осуществляется статистическим методом ЛП-поиска. Применение статистического метода обусловлено невыпуклым пространством параметров, многомерной функцией которых являются искомые минимумы амплитуд вынужденных колебаний. [36]
Если способ определения ап выбран, то итерации ( 1) продолжают до выполнения тех или иных критериев окончания счета. На практике часто используются критерии wn i - n e, или J ( un i) - / ( ип) е, или J ( un) iE и другие; возможны сочетания различных критериев. Разумеется, к этим критериям надо относиться критически, ибо они могут выполняться и вдали от искомого минимума. [37]
Метод Ритца дает величину минимального функционала с избытком. Было бы желательно иметь также метод построения приближенного решения, дающего указанную величину с недостатком. Трефтц предложил метод, который в некоторых случаях позволяет построить последовательность функций, дающих приближение к искомому минимуму функционала снизу. Идея метода Трефтца состоит в следующем. В то время как в методе Ритца приближенное решение ищется в классе функций, точно удовлетворяющих краевым условиям, но не дифференциальному уравнению, в методе Трефтца приближенное решение точно удовлетворяет дифференциальному уравнению, но, вообще говоря, не удовлетворяет поставленным краевым условиям. [38]
TV) осуществляются какие-либо операции. Как правило, эти операции сводятся к некоторой итерационной процедуре. В целом условие ( VIII, 58) требует, чтобы результат всех операций, обозначенных в правой части формулы ( VIII, 58), был равен искомому минимуму первоначальной задачи. [39]
Предположим, что в точке хг значение целевой функции больше, чем в остальных вершинах симплекса. Если значение F в полученной точке оказывается меньше, чем в какой-нибудь из старых вершин симплекса, она и принимается за новую вершину. Иначе, как и в том случае, когда п 1 последовательных симплексных итераций не меняют лучшей вершины, делается шаг алгоритма, использующий полную квадратичную аппроксимацию целевой функции: считается, что локализована достаточно малая окрестность искомого минимума. [40]
В только что описанной ситуации стоимость продукта может быть вычислена по математической формуле. Последняя обычно настолько сложная, что мало вероятно отыскать минимум методами дифференциального исчисления. Кроме того, на практике всегда имеются ограничения на переменные. Искомый минимум является наименьшей величиной внутри некоторой допустимой области, как показано на фиг. [41]
В этой задаче мы видим не только то, что подозреваемые виновны, но также и то, что ими круг виновных исчерпывается. В частности, исключенные нами экстремали, которые содержали более одной арки циклоиды, не могут доставлять минимум, так как они соответствуют в области ( а, т) кривым, содержащим участки, на которых а не равно постоянной. Это ясно показывает, что задача не сводится только к нахождению экстремалей; следует по крайней мере исключить еще те экстремали, которые не доставляют минимума. Позднее мы увидим, что существуют даже задачи, в которых экстремаль, соединяющая две точки, единственна, и все-таки не доставляет искомого минимума. [42]