Cтраница 3
Утверждение леммы легко вытекает из того, что матрица ранга 2 и размера 2x4 однозначно с точностью до умножения на невырожденную матрицу второго порядка определяется своими минорами второго порядка, заданными с точностью до умножения на произвольное число. [31]
Простейшими условиями положительности этой квадратичной формы являются: 1) положительный знак всех диагональных элементов матрицы, составленной из коэффициентов квадратичной формы; 2) положительный знак любого из определителей минора второго порядка. [32]
Если располагать однородные координаты точки пространства pnm n n в ( ( дг - - 1) Х ( т 1)) - матрицу, то образ г состоит из точек, матрица координат которых имеет ранг 1, и задается условиями равенства пулю миноров второго порядка этой матрицы. [33]
В матрице А возьмем базисный минор - это выделенный рамкой минор второго порядка. [34]
Поэтому композиция f ( h p), в которой / и h - невырожденные линейные преобразования, также описывается в этой ( а потому и в любой другой) декартовой системе линейной подстановкой координат с нулевым определителем. Далее, так как матрица отображения () имеет отличный от нуля минор второго порядка, то и матрица отображения f ( h p), записанного в любой декартовой системе координат, имеет хотя бы один отличный от нуля минор второго порядка. [35]
Поэтому третий и четвертый столбцы можно вычеркнуть, не изменив ранга матрицы. Итак, ранг матрицы В равен 2, а в качестве ее базисного минора можно взять минор второго порядка, расположенный в левом верхнем углу. Следовательно, два первых столбца матрицы В линейно независимы. [36]
Определитель этой системы по условию равен нулю. Примем без доказательства, что если га - простой корень характеристического уравнения ( а только такие корни мы сейчас и рассматриваем), то по крайней мере один из миноров второго порядка этого определителя не равен нулю. Тогда одно из уравнений является следствием двух остальных и система сводится к двум уравнениям с тремя неизвестными. [37]
Определитель этой системы по условию равен нулю. Примем без доказательства, что если гх - простой корень характеристического уравнения ( а только такие корни мы сейчас и рассматриваем), то по крайней мере один из миноров второго порядка этого определителя не равен нулю. Тогда одно из уравнений является следствием двух остальных и система сводится к двум уравнениям с тремя неизвестными. [38]
Поэтому композиция f ( h p), в которой / и h - невырожденные линейные преобразования, также описывается в этой ( а потому и в любой другой) декартовой системе линейной подстановкой координат с нулевым определителем. Далее, так как матрица отображения () имеет отличный от нуля минор второго порядка, то и матрица отображения f ( h p), записанного в любой декартовой системе координат, имеет хотя бы один отличный от нуля минор второго порядка. [39]
Обозначим матрицу размером 2 x 3 в правой части равенства (3.3) через R. Это вытекает из невырожденности задачи Эйлера-Пуансо и леммы Пуанкаре ( см. § 1 гл. Так как все миноры второго порядка матрицы Якоби R при любом фиксированном значении / 2 являются аналитическими функциями в области D, то в области D x ( QI, о) ранг R равен 1, то есть функции Щ) и J o зависимы. [40]
Для нахождения ранга матрицы размеров тхп часто поступают так. Берут любой отличный от нуля элемент матрицы. Затем, дописывая некоторую строку и некоторый столбец, отличные от тех, где лежит элемент, образуют всевозможные миноры второго порядка до тех пор пока не найдется минор второго порядка, отличный от нуля. Затем, дописывая некоторую строку и некоторый столбец, отличный от тех, где лежит найденный минор второго порядка, образуют всевозможные миноры третьего порядка до тех пор пока не найдется минор третьего порядка, отличный от нуля. [41]
Для нахождения ранга матрицы размеров тхп часто поступают так. Берут любой отличный от нуля элемент матрицы. Затем, дописывая некоторую строку и некоторый столбец, отличные от тех, где лежит элемент, образуют всевозможные миноры второго порядка до тех пор пока не найдется минор второго порядка, отличный от нуля. Затем, дописывая некоторую строку и некоторый столбец, отличный от тех, где лежит найденный минор второго порядка, образуют всевозможные миноры третьего порядка до тех пор пока не найдется минор третьего порядка, отличный от нуля. [42]
Для нахождения ранга матрицы размеров тхп часто поступают так. Берут любой отличный от нуля элемент матрицы. Затем, дописывая некоторую строку и некоторый столбец, отличные от тех, где лежит элемент, образуют всевозможные миноры второго порядка до тех пор пока не найдется минор второго порядка, отличный от нуля. Затем, дописывая некоторую строку и некоторый столбец, отличный от тех, где лежит найденный минор второго порядка, образуют всевозможные миноры третьего порядка до тех пор пока не найдется минор третьего порядка, отличный от нуля. [43]
Это как раз тот исключительный случай, рассмотрение которого мы в свое время отложили на будущее. Вы видите, насколько важны эти вырождающиеся преобразования, хотя их, к сожалению, очень часто и совершенно несправедливо оставляют без внимания. Далее, оказывается справедливым также и следующее обратное предложение: каждая такая подстановка с определителем А 0 дает некоторое аксонометрическое отображение. При этом необходимо, чтобы не все коэффициенты этой подстановки и даже не все составленные из них миноры второго порядка были равны нулю, ибо в противном случае получились бы дальнейшие вырождения, которые я могу здесь пропустить, поскольку они легко могут быть исследованы по указанному ниже образцу. [44]