Cтраница 2
Для общего случая переставить надлежащим образом строки и столбцы, учитывая, что строки и столбцы матрицы Л-1 переставляются так же, как строки и столбцы Лт, a del А приобретает множитель, иа который алгебраическое дополнение отличается от дополнительного минора. [16]
По аналогичным причинам в случае 2 соответствующие дополнительные миноры отличаются знаком, в остальных случаях они совпадают. Алгебраические дополнения отличаются от дополнительных миноров только знаками, опре-делямыми четностью суммы номеров строк и столбцов, на которых расположен минор. В случаях 1, 2 эти числа у соответствующих миноров одинаковы, а в случаях 3, 4 отличаются на единицу. [17]
Число М называется дополнительным минором элемента alk. По аналогии мы можем определить дополнительный минор произвольного элемента ( не обязательно из первой строки) как детерминант матрицы, получаемой из исходной вычеркиванием той строки и того столбца, в которых этот элемент расположен. [18]
А и будем обозначать через М, а если ясно, о какой матрице А идет речь, то через Мц. В силу индуктивного предположения для каждой из этих подматриц определено число F ( Mtj которое называется минором или, точнее, дополнительным минором элемента ац. [19]
Таким образом, всякий член определителя входит в произведение некоторого, притом вполне определенного, минора k - ro порядка из выбранных строк на его дополнительный минор, причем является произведением вполне определенных членов этих двух миноров. Для того же, наконец, чтобы получить взятый нами член определителя с тем знаком, какой он имеет в определителе, остается, как мы знаем, заменить дополнительный минор алгебраическим дополнением. Этим заканчивается доказательство теоремы. [20]
Вычеркнем затем в нашем определителе выбранные k строк и k столбцов, тогда из остальных элементов можно образовать определитель п - k - ro порядка, который будем называть дополнительным минором определителя D. [21]
Вычеркнем затем в нашем определителе выбранные k строк и k столбцов, тогда к остальных элементов можно образовать определитель ( п - й) - го порядка, который будем называть дополнительным минором определителя D. [22]
Вычеркнем затем в нашем определителе выбранные k строк и k столбцов, тогда из остальных элементов можно образовать определитель ( п - / г) - го порядка, который будем называть дополнительным минором определителя D. [23]
Этот определитель называется минором k - го порядка матрицы А. Определитель полученной таким образом матрицы порядка п - k называется дополнительным минором для первого минора. [24]
Непосредственно легко убедиться, что детерминант матрицы второго порядка меняет знак при перестановке столбцов. Детерминант матрицы порядка п мы разложим по любому столбцу, отличному от переставляемых столбцов. Переставляемые столбцы входят в каждый дополнительный минор, и если предложение справедливо для матриц порядка п - 1, при перестановке столбцов каждый минор меняет знак. Отсюда вытекает, что знак изменится и у детерминанта А. [25]
Для матриц порядка 1 оно очевидно. Поэтому из предположения индукции следует, что detB det 4, или, словами, дополнительный минор элемента ati в матрице А равен дополнительному минору зшемента 6д в матрице Ат, Кроме того, oif bfl, и разложение det А по первой строке совпадает с разложением det AT по первому столбцу. [26]
Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры порядка г 1 равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка г 2, а следовательно, и всех больших порядков. Это становится очевидным, если применить определение детерминанта к какому-нибудь минору порядка г 2; все дополнительные миноры элементов его первой строки являются минорами порядка г 1 нашей матрицы и, следовательно, равны нулю. [27]
Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры порядка г 1 равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка г - J-2, а следовательно, и всех больших порядков. Это становится очевидным, если применить определение детерминанта к какому-нибудь минору порядка г 2; все дополнительные миноры элементов его первой строки являются минорами порядка г 1 нашей матрицы и, следовательно, равны нулю. [28]
Для матриц порядка 1 оно очевидно. Поэтому из предложения индукции следует, что det V - det Uj, или, словами, дополнительный минор элемента alf в матрице А равен дополнительному минору элемента Ь Ч в матрице Ат. Кроме того, al / - - bj-l, и разложение det Л по первой строке совпадает с разложением det AT по первому столбцу. [29]
Для матриц порядка 1 оно очевидно. Поэтому из предположения индукции следует, что detB det 4, или, словами, дополнительный минор элемента ati в матрице А равен дополнительному минору зшемента 6д в матрице Ат, Кроме того, oif bfl, и разложение det А по первой строке совпадает с разложением det AT по первому столбцу. [30]