Cтраница 3
В своем преподавании Эрмит старался общие теоретические вопросы иллюстрировать примерами, в частности многочисленными примерами сопровождал изложение общих утверждений Вейерштрасса и Миттаг-Леффлера по теории функций. [31]
Принимая во внимание, что первый столбец матрицы ( atj) содержит бесконечное множество отличных от нуля элементов - мы получим, что матрица Миттаг-Леффлера имеет также бесконечное множество линейно независимых л. с. обратных. [32]
Были, очевидно, и другие друзья, которые были непрочь устроить гадость С.В.Ковалевской и, несомненно, что какое-то участие в этом принимал друг Ковалевской и Миттаг-Леффлера - Кронекер. [33]
Например, если функция, представленная строкой Тэйлора, не имеет вещественных особых точек, то каковы бы ни были ее комплексные особенности, ее разложение в строку Миттаг-Леффлера будет сходиться при всех вещественных значениях переменной. Таким образом, для вычисления аналитических функций найден другой путь, кроме указанного алгебраическим направлением. [34]
При этом теорию аналитических функций Эрмит излагает сначала по Коши, затем - по Вейерштрассу, сопровождая новейшими результатами, в частности теоремами Неймана о голоморфных функциях и Миттаг-Леффлера о разложении мероморфных функций. Миттаг-Леффлер дает общее аналитическое выражение однозначной функции с одной существенно особой точкой на бесконечности и с бесконечным числом полюсов определенной кратности на конечном расстоянии. Теоремы сопровождаются приложением их к различным частным случаям. [35]
Однако, я не должна скрывать от Вас, что во многих отношениях я чувствую себя очень мало подготовленной к выполнению обязанностей доцента, и порою я даже начинаю настолько сомневаться в себе, что опасаюсь, как бы Вы, дорогой Миттаг-Леффлер, всегда судивший обо мне с такою благожелательностью, не слишком разочаровались, когда Вы увидите ближе, на что я способна. [36]
Борель высказал убеждение в том, что понятие аналитической функции, как его дал Всйсрштрасс, еще сильно привязано к частному классу аналитических выражений, именно - рядам Тейлора, и что если за элемент функции взять не ряд Тейлора К ( х - - а), а звездное разложение Миттаг-Леффлера, то по лучам звезды Миттаг-Лсффлера можно проскользнуть через полюсы аналитического выражения, всюду плотно лежащие на особой линии, во внешнее пространство, если звездное разложение Мпттаг-Леффлсра было, составлено для внутренней точки кривой. [37]
Действительно, если от линейных уравнений мы перейдем к нелинейным и введем аналогичный вспомогательный параметр А, то окажется в большинстве случаев, что искомое решение, будучи аналитической функцией А, не только не мероморфно, но обладает ограниченной областью существования, и изучение его в комплексной области представляет непреодолимые препятствия; тем не менее при К 0 возможно вычислить все его последовательные производные и построить строку Миттаг-Леффлера, сходящуюся внутри звезды. [38]
Действительно, если от линейных уравнений мы перейдем к нелинейным и введем аналогичный вспомогательный параметр X, то окажется в большинстве случаев, что искомое решение, будучи аналитической функцией X, не только не мероморфно, ЕЮ обладает ограниченной областью существования, и изучение его в комплексной области представляет непреодолимые препятствия; тем не менее при X 0 возможно вычислить все его последовательные производные и построить строку Миттаг-Леффлера, сходящуюся внутри звезды. Таким образом, если будет доказано, что некоторое значение X находится внутри звезды, то тем самым будет не только обнаружена разрешимость соответствующей задачи Дирихле, но найдено также сходящееся выражение для решения. [39]
При этом теорию аналитических функций Эрмит излагает сначала по Коши, затем - по Вейерштрассу, сопровождая новейшими результатами, в частности теоремами Неймана о голоморфных функциях и Миттаг-Леффлера о разложении мероморфных функций. Миттаг-Леффлер дает общее аналитическое выражение однозначной функции с одной существенно особой точкой на бесконечности и с бесконечным числом полюсов определенной кратности на конечном расстоянии. Теоремы сопровождаются приложением их к различным частным случаям. [40]
В переписке встречаются и некоторые вопросы о приоритете. Миттаг-Леффлер, в свою очередь, обращается к Стилтьесу с вопросами по поводу этой статьи Римана, и Стилтьес отвечает. [41]
Стареющий математик безошибочно почувствовал, что у молодого пионера новой науки фундаментальнейшие его открытия, быть может, еще впереди. Но Миттаг-Леффлер не знал, что эти открытия приведут со временем к созданию атомной механики, в математический аппарат которой войдут и его собственные, миттаг-леффлеровские, исследования так называемых аналитических функций. Таких вещей никто не знает заранее. Зато история уже задним числом накладывает отпечаток многозначительности на подобные встречи ученых, думающих, что они всего лишь современники, и не подозревающих, что на самом деле они и соратники. [42]
Иц - функции г. Предположим, что точка го не является особой точкой какого-либо коэфициента. Рассмотрим звезду Миттаг-Леффлера J, огр ничейную непересекающимися прямыми линиями, проведенными от каждой особой точки коэ-фициентов к бесконечности. Для определенности предположим, что эти ограничивающие линии являются продолжениями радиусов вектор он, проведенных от точки 20 к особым точкам, Предположим также, что эти коэфициенты Щ аналитические во всей звезде. [43]
Как известно, полная аналитическая функция определяется путем аналитического продолжения, которое осуществляется шаг за шагом при помощи рядов Тэйлора. Борелю, Миттаг-Леффлеру, Линделефу и другим авторам удалось получить интересные результаты, заменив сложный процесс аналитического продолжения одной формулой, имеющей смысл в некоторой области. Их метод заменяет цепочку преобразований одного ряда Тэйлора в другой ряд Тэйлора одним преобразованием его в последовательность; это преобразование осуще -, ствляется при помощи матрицы. [44]
Академию в Петербург Миттаг-Леффлера, едет сама в Петербург, добивается поддержки Эрмита. [45]