Cтраница 1
Полные двухмерные многообразия постоянной кривизны были найдены Клейном и Киллингом. [1]
Евклидова плоскость является многообразием нулевой постоянной кривизны. [2]
В качестве последнего берут многообразие постоянной кривизны, реже - другое симметрич. [3]
О вмещении риман шых многообразий постоянной кривизны друг в друга. [4]
Евклидова двумерная плоскость является многообразием нулевой постоянной кривизны. [5]
Вольф [36] - [38] классифицировал в целом однородные римановы и псевдоримановы многообразия постоянной кривизны. [6]
Так, например, стандартная сфера S2 и евклидова плоскость являются многообразиями постоянной кривизны. [7]
Псевдоримановы многообразия, секционная кривизна которых одинакова по всем ( невырожденным) плоским сечениям, называются многообразиями постоянной кривизны. [8]
Поля Киллинга на Мп образуют алгебру Ли размерности k п ( п 1) / 2, причем равенство имеет место для римановых многообразий постоянной кривизны. Например, на двумерных сферах х const в евклидовом пространстве М3 х поля с х х, е const, являются киллинговыми. [9]
Но мы еще здесь познакомимся с тем, какие специальные рассмотрения Риман связывал со своей формулой. Под многообразием постоянной кривизны понимают, следуя Риману, такое многообразие, для которого выходящее в произвольном направлении из произвольной точки х пространства Rn геодезическое многообразие всегда имеет одну и ту же гауссову кривизну для которого следовательно коварианты А и В являются пропорциональными. В это понятие многообразия постоянной кривизны включается, в частности, многообразие обращающейся в нуль кривизны. [10]
Это число само ограничено энтропией, остается вычислить его для многообразий постоянной кривизны. Этот последний этап выполнен сейчас только в размерности два. [11]
Итак, мы указали в R3 ( по крайней мере локально) поверхности постоянной положительной, нулевой и отрицательной гауссовой кривизны. Многообразие постоянной положительной кривизны ( сфера) является компактным и замкнутым ( без края) многообразием; многообразие нулевой кривизны ( плоскость или конус, образованный семейством прямых, исходящих из одной точки, конечной или бесконечной, и скользящих по произвольной гладкой плоской кривой 7 B К3) является некомпактным ( без края) открытым многообразием. Предъявленное нами многообразие отрицательной постоянной кривизны отличается от предыдущих двух примеров тем, что эта поверхность не является замкнутым многообразием и не может быть продолжена на бесконечность. [12]
Но мы еще здесь познакомимся с тем, какие специальные рассмотрения Риман связывал со своей формулой. Под многообразием постоянной кривизны понимают, следуя Риману, такое многообразие, для которого выходящее в произвольном направлении из произвольной точки х пространства Rn геодезическое многообразие всегда имеет одну и ту же гауссову кривизну для которого следовательно коварианты А и В являются пропорциональными. В это понятие многообразия постоянной кривизны включается, в частности, многообразие обращающейся в нуль кривизны. [13]
Каждое полное риманово многообразие М постоянной кривизны допускает риманово накрытие одним из перечисленных. При этом л ( М) можно рассматривать как группу Г изометрии универсального накрывающего пространства М, действующую свободно и вполне разрывно. Обратно, если группа Г действует изометриями свободно и вполне разрывно на полном односвязном М постоянной кривизны, то М М / Г - риманово многообразие постоянной кривизны. [14]
Теория трехмерных многообразий совершенно преобразилась за последние несколько лет. Терстона [66-70], который показал, что в дополнение к чисто топологическим методам важную роль в этой теории играют и геометрические методы. Основная цель этой книги - обсудить различные появляющиеся при этом геометрии и объяснить их значение в теории трехмерных многообразий. Идея заключается в том, что на многих трехмерных многообразиях можно ввести хорошие метрики, позволяющие достичь нового, более глубокого понимания свойств этих многообразий. Для целей книги наилучшими являются метрики постоянной кривизны. Наблюда тель на многообразии постоянной кривизны видит одну и ту же картину, где бы он ни стоял и в каком бы направлении ни смотрел. Такие многообразия обладают специальными топологическими свойствами. Однако нам придется рассматривать и хорошие метрики, кривизна которых непостоянна. В этой книге я объясню, что понимается под словами хорошая метрика, и опишу принадлежащую Терстону классификацию таких метрик в размерности три. Затем мы обсудим некоторые из трехмерных многообразий, допускающих эти хорошие метрики, и взаимосвязь между их геометрическими и топологическими свойствами. [15]