Cтраница 2
Канонический вид - это вид, где координаты плоские. Там получается 6, умноженное на постоянную матрицу, а символы Кристоффеля в плоских координатах зануляются. Хотя в практических задачах эти координаты невозможно найти; это очень трудная задача. Приходится работать с полным ансамблем объектов римановой геометрии, зная, что ты на самом деле сидишь в евклидовой геометрии. Только знаешь, что кривизна равна нулю, поэтому ковариантные производные коммутируют. А если метрика неплоская за счет присутствия нелокальных членов, как я сказал. Вот, скажем, тот же простейший нелокальный член, приводящий к многообразиям постоянной кривизны. [16]
Дифференциально-геометрическое рассмотрение должно быть дополнено в этом пункте проективным. Последнее позволяет для пространств постоянной кривизны сразу ответить на вопрос о свойствах всего пространства в целом. Например, как впервые указал Клейн), для пространства постоянной положительной кривизны имеются две возможности, в зависимости от того, соответствует ли системе значений координат в представлении ( 122) одна или две точки пространства. В первом случае пространство называется сферическим, во втором случае, на основании проективной терминологии - эллиптическим. Оба вида пространств являются хотя и неограниченными, но конечными в римаповом смысле. Общий объем эллиптического пространства, очевидно, в два раза меньше, чем общий объем сферического пространства той же кривизны. Совершенно такие же соотношения имеют место для полной длины ( замкнутых) геодезических линий обоих пространств. Для пространств постоянной отрицательной кривизны число различных возможностей значительно больше. Особенно замечательна поверхность Клиффорда, которая показывает возможность конечного многообразия с нулевой кривизной. Вопрос о геометрии в целом многообразий постоянной кривизны назван Киллингом проблемой клиффорд-клейновских пространственных форм. [17]