Cтраница 2
Всякая конечная решетка порождает конечно базируемое многообразие, однако существуют многообразия решеток, не имеющие конечного базиса тождеств. Более того, объединение двух конечно базируемых многообразий решеток не обязательно имеет конечный базис тождеств. Каждое конечно базируемое многообразие решеток может быть задано двумя тождествами. Конечно базируемые многообразия, и только они, являются компактными элементами решетки, двойственной для решетки всех многообразий решеток. [16]
Многообразие полугрупп минимально тогда и только тогда, когда оно задается одним из следующих наборов тождеств: I) ху ух; х2 х; 2) ху х; 3) ху у; 4) ху zt; 5) ху ух, хРу у, где р - простое число. Многообразие групп минимально тогда и только тогда, когда оно задается тождествами ху - ух, хр 1, где р - фиксированное простое число. Дистрибутивные решетки являются единственным минимальным многообразием решеток. [17]
Всякая конечная решетка порождает конечно базируемое многообразие, однако существуют многообразия решеток, не имеющие конечного базиса тождеств. Более того, объединение двух конечно базируемых многообразий решеток не обязательно имеет конечный базис тождеств. Каждое конечно базируемое многообразие решеток может быть задано двумя тождествами. Конечно базируемые многообразия, и только они, являются компактными элементами решетки, двойственной для решетки всех многообразий решеток. [18]
О решетке Fe V говорят, что она V-свободно порождается своим подмножеством X, если всякое отображение фо: X - - L, где L - произвольная решетка из V, можно продолжить до гомоморфизма р: F - L. Для любого кардинального числа а в У существует решетка, У-свободно порожденная подмножеством мощности а. Две У-свободные решетки F и F2 с равномощными порождающими множествами соответственно Х и Х2 изоморфны. Свободная дистрибутивная решетка FD ( n) конечного ранга п конечна. Например, FD ( 3) содержит 18 элементов, a FD ( 7) имеет 2414682040996 элементов. В свободной модулярной решетке FM ( 3) 28 элементов, a FM ( 4) уже бесконечна, причем имеет алгоритмически неразрешимую проблему равенства слов ( Herrmann Ch. Всякое многообразие решеток V порождается одной из своих решеток, например, У-свободной решеткой счетного ранга. Многообразие дистрибутивных решеток Я) порождается уже двухэлементной цепью. [19]