Cтраница 1
Многообразия алгебр - это эквациоиально определяемые классы алгебр или примитивные классы в терминологии Мальцева. Затем в течение определенного времени было мало публикаций, подтверждающих, что этой тематикой занимаются. На самом деле, однако, как часть универсальной алгебры, она вызвала большой интерес среди тех, кто - прямо или косвенно-имел доступ к лекциям Филипа Холла, прочитанным им позднее, в сороковых годах, в Кембридже. Я не знаю, насколько далеко зайдет эта связь с теорией категорий. [1]
Многообразие алгебр задается набором символов основных операций и набором тождеств. Аналогично можно говорить и о синтаксическом задании других алгебраических теорий. В этой главе указывается другой подход к описанию алгебраических теорий, основанный на категорных идеях. В роли соответствующего синтаксиса выступает определенная категория Т и эта Т называется алгебраической теорией. Алгебры данной теории трактуются как функторы из Г в категорию множеств. [2]
Многообразие алгебр называется конечно базируемым, если оно задается конечным набором тождеств. Алгебра А называется конечно базируемой, если многообразие HSIL4, порожденное алгеброй А, является конечно базируемым. Свойство конечной базируемости многообразия К [ алгебры Л ] существенно при алгоритмическом решении вопроса о принадлежности данной алгебры многообразию / С [ многообразию, порожденному алгеброй А ], поскольку этот вопрос сводится к проверке выполнимости конечного набора тождеств. Отметим, что конечно базируемые многообразия групп, колец и модулей задаются одним тождеством. [3]
Многообразие алгебр называется резидуально малым, если мощности подпрямо неразложимых алгебр ограничены. Примерами резидуально малых многообразий являются многообразия абелевых групп, всех полурешеток, дистрибутивных решеток, булевых алгебр. Если дистрибутивное многообразие порождается конечной алгеброй, то оно резидуально мало ( см. [28], гл. Многообразие / С резидуально мало тогда и только тогда, когда в К любая алгебра вложима в эквациально компактную алгебру ( см. [28], гл. Обзор результатов по резидуально малым многообразиям приведен в [28], гл. [4]
Всякое многообразие алгебр над бесконечным полем однородно. [5]
С многообразиями алгебр Халмоша связано много привлекательных задач; некоторые из них являются принципиальными для исследования природы исчисления предикатов. К разряду последних отнесем, в частности, следующий вопрос: верно или нет, что многообразие всех алгебр Халмоша при любом в и бесконечном X порождается своими локально конечными алгебрами. Мы не знаем, занимался ли кто-нибудь подобной задачей. [6]
Если - многообразие алгебр, то фактор-системы однозначно соответствуют конгруэнциям и теорема 2 обращается в упомянутую известную теорему о вполне характеристических конгруэнциях. [7]
Если - поляризованное многообразие алгебр и на всех - алгебрах конгруэнции перестановочны, то - произведение любых двух - подмногообразий 91, 25 является многообразием. [8]
Пусть 9Л - многообразие алгебр, А - относительно свободная / - порожденная алгебра из ЗЯ. Базисным рангом многообразия 9Л называется число / такое, что 9Я А. Например, базисный ранг многообразия Мп равен 1 при и - 1 и 2 при п 1, а базисный ранг грас-сманова многообразия G, порожденного тождеством [ [ ж, y ] z ] О, равен бесконечности. Данное тождество не выполняется в алгебре ( 2 х 2) - матриц, и все первичные алгебры из многообразия G коммутативны. В конечно порожденном случае в силу теоремы Брауна радикал ниль-потентен ограниченного индекса. [9]
Отдельно можно рассматривать многообразия алгебр Халмоша с равенством. [10]
Пусть дано некоторое многообразие ЯП унарных алгебр. [11]
Структура веет подмногообразий произвольного многообразия унарных алгебр. Под унарной алгеброй ( см.п. 1.6.II) понимается алгебра j - 6, / 2, сигнатура которой содержит не более чем унарные операции. [12]
Мы пришли к следующему многообразию алгебр: ю абелевы алгебры сигнатуры fi ( с нулем 0, если в У имеются нульарные операции) и в то же время полугруппы по бинарному умножению, причем выполняются законы дистрибутивности и, в частности, нуль абелевой алгебры играет роль нуля для умнол ения. В соответствии с терминологией, которая будет введена в следующем параграфе, полученные алгебры можно называть дистрибутивными кольцоидами над абеле-выми алгебрами. [13]
Мы пришли к следующему многообразию алгебр: эю абелевы алгебры сигнатуры и ( с нулем 0, если в Q имеются нульарные операции) и в то же время полугруппы по бинарному умножению, причем выполняются законы дистрибутивности и, в частности, нуль абелевой алгебры играет роль нуля для умножения. В соответствии с терминологией, которая будет введена в следующем параграфе, полученные алгебры можно называть дистрибутивными кольцоидами над абеле-выми алгебрами. [14]
Класс 0-алгебр О есть многообразие алгебр. [15]