Cтраница 1
Аффинное алгебраическое многообразие, определяемое конечномерной алгеброй, состоит из конечного числа точек. [1]
Класс изоморфных вложенных аффинных алгебраических многообразий называется ( абстрактным) аффинным алгебраическим многообразием ( или, короче, аффинным многообразием), а отдельные его представители - вложениями этого многообразия в аффинное пространство, или моделями. Практически аффинное многообразие отождествляют с его моделью, подразумевая, однако, возможность перехода к любой другой модели. [2]
Пусть X - аффинное алгебраическое многообразие, на котором регулярно действует линейная алгебраическая группа G, и У - подмногообразие в X, инвариантное относительно некоторой подгруппы Я в G. Предположим, что Gy [ Y Hy для любой точки у е У. Тогда для любой Я-инвариантной регулярной функции f на У существует такая G-инвариантная рациональная функция f на G-У ( чертой обозначено замыкание в X), что J цела над локальным кольцом любой точки е G-У и индуцирует / на У. Множество G-У при этом открыто в G-У, и если G-У нормально, а коразмерность G-У - G-У в G-У больше 1, то f регулярна на G-У, а сужение функций с G-У на У определяет изоморфизм алгебры G-инвариантных регулярных функций на G-У и алгебры / / - инвариантных регулярных функций на У. [3]
АФФИННОЕ МНОГООБРАЗИЕ, аффинное алгебраическое многообразие - обобщение понятия аффинного алгебраического множества. XSpec А, где А - коммутативная fe - алгебра конечного типа без нильпотентных элементов. Аффинная схема является А. Подмножество множества / с, состоящее из общих нулей всех многочленов идеала ker ф, является аффинным алгебраич. [4]
Отображение ф называется морфизмом аффинных алгебраических многообразий, если q ( S xf) c Sx. В этом случае Ф является гомоморфизмом - алгебр S x - Sx. [5]
Итак, задание морфизма вложенных аффинных алгебраических многообразий равносильно заданию гомоморфизма алгебр многочленов на них. [6]
Существует взаимно однозначное соответствие между точками аффинного алгебраического многообразия Л /, определяемого конечно порожденной алгеброй А, и максимальными идеалами этой алгебры, при котором точке х е М отвечает ядро соответствующего гомоморфизма ср: А - - К. [7]
Дано регулярное действие алгебраической группы Я на аффинном алгебраическом многообразии У. [8]
Обозначим через ЗРп ( тп) кольцо полиномов на аффинном алгебраическом многообразии Symn ( Cm ] - кольцо всех ( п, ш) - полисиммет-рических полиномов. [9]
Пусть G - унипотентная алгебраическая группа, действующая на аффинном алгебраическом многообразии X. В частности, все классы сопряженных элементов группы G замкнуты. [10]
Класс изоморфных вложенных аффинных алгебраических многообразий называется ( абстрактным) аффинным алгебраическим многообразием ( или, короче, аффинным многообразием), а отдельные его представители - вложениями этого многообразия в аффинное пространство, или моделями. Практически аффинное многообразие отождествляют с его моделью, подразумевая, однако, возможность перехода к любой другой модели. [11]
Известно, что для алгебраических действий связных комплексных алгебраических групп на аффинных алгебраических многообразиях существует достаточно рациональных инвариантов, чтобы отделить орбиты в следующем смысле. [12]
Яот ( тг, GL ( r, С)) имеется естественная структура аффинного алгебраического многообразия. Отображение R - GI / ( r, С): р - ( Д4 р ()) 1 Л отождествляет Д с замкнутым подмногообразием в GL ( r C) - прообразом единичного элемента при морфизме GL ( r, С) - 4 GL ( r, С), отвечающем этим соотношениям. Можно проверить, что так определенная структура не зависит от выбора представления группы тг образующими и соотношениями. [13]
Такое множество ( с топологией, индуцированной топологией Зарисского на V) называется также аффинным алгебраическим многообразием. [14]
На геометрическом языке это значит, что для любого регулярного действия группы G на аффинном алгебраическом многообразии X алгебра k [ X ] инвариантных регулярных функций на X конечно порождена. [15]