Cтраница 2
Если GczGL ( ] /) - линейная алгебраическая группа, то полиномиальным, или рациональным представлением группы G в W называется гомоморфизм G-GL ( W), являющийся одновременно морфизмом аффинных алгебраических многообразий. [16]
Это означает, что аффинные многообразия можно рассматривать как объекты специального вида в категории топологических пространств с пучком функций. А именно: ( абстрактное) аффинное алгебраическое многообразие - это топологическое пространств. [17]
При построении алгебраической геометрии фундаментальную роль играет алгебра многочленов fc [ Ti... ТП ], являющаяся алгеброй функций на n - мерном аффинном алгебраическом многообразии. [18]
Пусть А - некоторая конечно порожденная коммутативная алгебра и V - алгебраическое многообразие Ф ( А), описываемое кольцевыми гомоморфизмами А-С. Тогда отображение ev: Symn ( V) - ФЛ ( Л) является гомеоморфизмом аффинных алгебраических многообразий. [19]
Идея этого метода геометрическая. Она основана на том, что алгебра S ( V) G свободна тогда и только тогда, когда определяемое ею аффинное алгебраическое многообразие V / G неособо. Особенности же этого многообразия можно изучать, рассматривая действия стабилизаторов тех точек, орбита которых замкнута, в пространстве, дополнительном к касательному пространству к этой орбите. Если стабилизатор таков, что алгебра инвариантов для его действия в указанном пространстве несвободна, то V / G будет иметь в соответствующей точке особенность и, значит, S ( V) G будет несвободной. С помощью этой процедуры перехода к стабилизаторам список известных групп с несвободной алгеброй инвариантов можно постепенно пополнять, и так удается оставить лишь несколько групп, алгебру инвариантов которых следует рассмотреть непосредственно. [20]