Cтраница 1
Бесконечномерные многообразия рассматриваются в книге С. [1]
Это бесконечномерное многообразие, хотя это и кажется удивительным на первый взгляд, обладает естественной комплексной структурой. Действительно, касательный вектор к указанному многообразию есть снова гладкое отображение в Rd. Однако, при всей ее естественности с точки зрения математика, построенная комплексная структура на ГШ нефизична в том смысле, что зависит от выбора параметризации на петлях. А именно, если сменить параметризацию петель с помощью какого-либо диффеоморфизма единичной окружности, то изменится и комплексная структура, если только выбранный диффеоморфизм не является вращением окружности как целого. [2]
Структура бесконечномерного многообразия в А определяется подпространствами А, , где А - состоит из наборов 2п многочленов, степень каждого из которых г. Индуцированная структура на G задает, как легко видеть, структуру аффинной бесконечномерной алгебраической группы на G. [3]
Оно является, однако, бесконечномерным многообразием, и инфинитезималъно опять можно использовать разложение в ряд Фурье, чтобы ввести комплексные координаты. [4]
Чтобы получить аналогичные результаты для функций на бесконечномерных многообразиях, необходимы определенные дополнительные предположения об ана-литич. Наиболее полная аналогия с конечномерным случаем достигается при использовании так наз. Smale, см. [7]), но оно не выполняется в нек-рых интересных случаях, а при выполнении более слабых условий соответствующие результаты тоже могут быть слабее. Затруднения может вызвать исследование траекторий градиентного спуска или какого-нибудь его аналога. Иногда удовлетворительные результаты удается получить только для точек минимума. [5]
Хотя С ( Р, Ч) можно превратить в бесконечномерное многообразие только после надлежащего пополнения, оно тем не менее обладает касательными пространствами, состоящими из кусочно-гладких векторных полей вдоль заданной кусочно-глад ко и кривой, которая предполагается в свою очередь параметризованной длиной дуги. [6]
Бурбаки и содержит изложение результатов важной области современной математики - теории конечномерных и бесконечномерных многообразий. [7]
Если все Xi являются аффинными многообразиями, то X будет называться аффинным бесконечномерным многообразием. [8]
Если быть строгим, то в математической статистике приходится иметь дело с дифференциальной геометрией поверхностей в бесконечномерных многообразиях распределений вероятностей. Единственное, по существу, исключение - искривленные экспоненциальные семейства - подсемейства канонических экспоненциальных семейств (0.11), - благодарный объект исследований с применением дифференциально-геометрической техники; ср. Но общепринятой бесконечномерной дифференциальной геометрии пока не существует. И далеко не все предложения конечномерной теории безоговорочно сохраняются в бесконечномерной. Поэтому особое внимание мы уделяем достаточным условиям, обеспечивающим регулярность тех или иных конструкций, особенно в задаче оценивания плотности. [9]
Кроме этого, для данных конечномерных многообразий X, Y полезно ввести в множество всех дифференцируемых отображений многообразия X в Y структуру бесконечномерного многообразия. В этом направлении сверх формального перенесения конечномерных результатов можно получить результаты существенно новые, которые в свою очередь затрагивают конечномерный случай. [10]
Тогда BSO ( 3) - это многообразие Грассмана ориентированных трехмерных плоскостей К в сепарабелъном вещественном гильбертовом пространстве R a ЕЗО ( З) - бесконечномерное многообразие Штифеля 3-реперов в к слоем над 1C является множество всех ориентированных ортонор-мированных базисов плоскости тс. [11]
Прежде чем перейти к краткому обзору новейших достижений в нестандартной теории вероятностей, упомянем работы Neves [1 ], [2 ], в которых получены некоторые обещающие результаты, связанные с анализом на бесконечномерных многообразиях. [12]
Выяснилось, что в задаче о замкнутых геодезических наиболее естественное ( и наиболее нужное) функциональное пространство 1Ш ( пространство параметризованных и неориентированных замкнутых кривых на исходном многообразии М) не является бесконечномерным многообразием. Поскольку работать с таким плохим пространством неудобно, приходится часто оперировать в хорошем пространстве параметризованных замкнутых кривых AM, но так, чтобы все переносилось в ИМ при естественной проекции AM - ИМ. Хотя идеи о подобных изменениях высказывал не один только Клингенберг, детальная разработка нового плана систематического изложения всего материала с учетом этих изменений является его заслугой. [13]
Это замечание играет для нас роль и в бесконечномерном случае тоже. Допустим, что у нас есть какой-то очень сложный тензор Пуассона / на бесконечномерном многообразии, но мы заметили, что коэффициенты этого тензора являются линейными функциями от координат. Тогда мы знаем, что за этим лежит какая-то алгебра Ли, гораздо меньшая, чем полная алгебра Пуассона всех функционалов. [14]
Имеются некоторые наглядные соображения, подтверждающие эту гипотезу. По-видимому, L ( l) допускает точное представление как алгебра Ли векторных полей на бесконечномерном многообразии, касательных к одномерному расслоению. [15]