Cтраница 1
Тороидальное многообразие такого типа может при определенных условиях притягивать близкие траектории, не лежащие на торе. Связь такого рода задач с основными проблемами теории нелинейных колебаний вполне очевидна и не нуждается в пояснениях. В работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова ( 1934, 1937) вопрос о существовании таких многообразий был решен для случая двухмерных торов. Для многомерного случая такое исследование, как указано Н. Н. Боголюбовым ( 1964), не могло быть выполнено в рамках использовавшихся методов. [1]
Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Nv. Как следует из предыдущего параграфа ( теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность Nv сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов N i, N-i и Nv. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнений в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркаций тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. [2]
Размерность возникающего тороидального многообразия зависит от соотношений между частотами 0) 1, ( В2, : n - Наличие между частотами простых резонансных соотношений приводит, вообще говоря, к снижению размерности тороидального многообразия вплоть до возникновения синхронных колебаний. [3]
Четвертая глава посвящена изучению инвариантных тороидальных многообразий для различных классов систем дифференциальных уравнений с квазнпе-риодическими коэффициентами. Доказаны теоремы существования инвариантных тороидальных многообразий различных классов систем с запаздыванием и указаны условия, при которых эти многообразия существуют. Кроме того, описан метод построения указанных многообразий, исследован вопрос о поведении траекторий нелинейной системы с квазипериодическими коэффициентами и за паздыванием в окрестности экспоненциально-устойчивого тороидального многообразия. [4]
В работах [113, 120, 121] предложен новый метод изучения инвариантных тороидальных многообразий - метод функции Грина задач об инвариантных торах. Этот метод не только позволяет доказать новые теоремы существования тороидальных многообразий для систем с запаздыванием, но и дает алгоритм их построения. [5]
При выполнении этих условий найдем условия существования инвариантного тороидального многообразия 3: г / м ( ф) системы (2.1), производные которого удовлетворяют условиям Липшица. Для отыскания тора 3 применим, как и раньше, итерационный процесс. [6]
В такой системе возможны многопериодические движения, образующие устойчивые тороидальные многообразия. [7]
P) - В такой системе возможны многопериодические движения, образующие устойчивые тороидальные многообразия. [8]
Однако квазипериодические решения сохраняются при возмущениях далеко не всегда, и изолированное инвариантное тороидальное многообразие является более устойчивым объектом. Саккера [149, 150], Ю. И. Неймарка [27, 91, 93] и др. Вопросы существования компактных замкнутых инвариантных многообразий ( не обязательно тороидальных) изучались в работах Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, А. М. Самойленко, О. Б. Лыковой, Дж. [9]
Состояние равновесия или периодическое движение теряет устойчивость, одновременно порождая устойчивое периодическое движение или соответственно устойчивое двумерное тороидальное многообразие с периодической или квазипериодической обмоткой. [10]
Используя некоторые приемы, развитые В. И. Арнольдом, Н. Н. Боголюбов доказал при весьма широких предположениях существование тороидальных многообразий высших размерностей, что позволило получить существенное продвижение в области изучения существования и устойчивости квазипериодических движений. [11]
С последующим изменением параметра д в фазовом пространстве многомерной динамической системы может произойти потеря устойчивости двумерного инвариантного тора и рождение трехмерного тороидального многообразия. При этом поведение системы характеризуется тремя независимыми частотами. Дальнейшее изменение управляющего параметра может привести к последовательности бифуркаций, в результате которых в фазовом пространстве диссипативных динамических систем возникают инвариантные торы все возрастающей размерности. В конечном счете мы приходим к сложному квазипериодическому движению с k несоизмеримыми частотами, которое при очень большом k будет выглядеть как хаотическое. Считая, что такой путь развития хаоса действительно возможен, Ландау [74, 75] и независимо Хопф [209, 210] выдвинули гипотезу, согласно которой хаотическая динамика диссипативных систем есть не что иное, как движение по инвариантному тору большой размерности. [12]
Размерность возникающего тороидального многообразия зависит от соотношений между частотами 0) 1, ( В2, : n - Наличие между частотами простых резонансных соотношений приводит, вообще говоря, к снижению размерности тороидального многообразия вплоть до возникновения синхронных колебаний. [13]
Четвертая глава посвящена изучению инвариантных тороидальных многообразий для различных классов систем дифференциальных уравнений с квазнпе-риодическими коэффициентами. Доказаны теоремы существования инвариантных тороидальных многообразий различных классов систем с запаздыванием и указаны условия, при которых эти многообразия существуют. Кроме того, описан метод построения указанных многообразий, исследован вопрос о поведении траекторий нелинейной системы с квазипериодическими коэффициентами и за паздыванием в окрестности экспоненциально-устойчивого тороидального многообразия. [14]
В работах [113, 120, 121] предложен новый метод изучения инвариантных тороидальных многообразий - метод функции Грина задач об инвариантных торах. Этот метод не только позволяет доказать новые теоремы существования тороидальных многообразий для систем с запаздыванием, но и дает алгоритм их построения. [15]