Cтраница 3
В настоящем параграфе развивается аппарат для изучения этих и других морфизмов. Доказательства существенным образом опираются на рассмотрение размерности. Как и в § 3, обычно достаточно рассматривать неприводимые многообразия, которые часто ( хотя и не всегда) можно предполагать аффинными. [31]
Слоем морфизма а над точкой у е Y называют подмногообразие а 1 ( у) многообразия X. При изучении непустых слоев без ограничения общности можно предполагать, что а ( Х) плотно в Y. В случае когда X ( и Y) - неприводимые многообразия, это означает, что а - доминантный морфизм. [32]
Будем разрезать данное многообразие М по несжимаемым поверхностям до тех пор, пока это возможно. При этом начальное условие, что М является достаточно большим, используется только при первом разрезании, так как все появляющиеся в дальнейшем многообразия имеют непустые края. Так как все разрезания должны быть исчерпаны и так как единственное неприводимое многообразие с непустым краем, не содержащее несжимаемых поверхностей, есть трехмерный шар, то в результате мы получим набор шаров. Разумеется, нужно хранить информацию о том, как эти шары склеиваются в исходное многообразие. Такое разбиение многообразия на шары ( или, вернее, сам процесс разбиения) называется иерархией. [33]
О - область целостности, целозамкнутая в своем поле частных. Поэтому вопросы, связанные с нормальностью, обычно легко сводятся к случаю неприводимых многообразий. [34]
НЕПРИВОДИМОЕ МНОГООБРАЗИЕ - алгебраическое многообразие, являющееся неприводимым топологическим пространством в топологии Зариского. Аналогично определяется неприводимость схемы. Для гладкого ( и даже нормального) многообразия понятия неприводимости и связности совпадают. Каждое неприводимое многообразие обладает единственной общей точкой. [35]
X - - A может быть отображено на подмногообразие У меньшей размерности и при этом /: : XY X - f ( Y) - изоморфизм. У на У / ( У); это понятно является частным случаем понятия модификации алгебраич. В случае, когда X, У, X и У являются гладкими неприводимыми многообразиями, И. У имеет коразмерность 1 в X, то оно наз. [36]
Обычно мы без колебаний заменяем У на замыкание множества ф (); это упрощает соотношения между размерностями. Если многообразие X неприводимо и множество ф () плотно в У, то мы говорим, что ф - доминантный морфизм. Мы могли бы использовать этот термин и в случае, если многообразие X не является неприводимым; однако мы предпочитаем сохранить термин доминантный для следующей более специфической ситуации: морфизм ф отображает каждую компоненту многообразия X на плотное подмножество некоторой компоненты многообразия У, и образ ф () плотен в У. Даже если морфизм ф является доминантным, его ограничение на неприводимую компоненту множества ф - 1 ( W) ( W - замкнутое неприводимое подмножество многообразия У) не обязано, разумеется, быть доминантным, если его рассматривать как морфизм этой компоненты в W. Но если это так, то мы говорим, что рассматриваемая компонента доминирует W. Одно замечание: если ф: X - Y - доминантный морфизм, X, У - неприводимые многообразия, то коморфизм ф индуцирует вложение поля K ( Y) в К ( Х) -, в частности, dim X dim У. [37]