Cтраница 1
Проективное линейное многообразие с числом измерений т содержит т 1 проективно независимых точек. [1]
Всякое р-мерное проективное линейное многообразие проективного пространства Р замкнуто в Р и гомеоморфно Рр; если р; п, то его дополнение всюду плотно. [2]
R) ( называемое вещественным проективным линейным многообразием) порождает в Р ( С) / - мерное проективное линейное многообразие V ( называемое комплексным проективным линейным многообразием), следом которого на Pn ( R) оно служит; при этом всякая система ( однородных) уравнений многообразия V будет вместе с тем системой ( однородных) уравнений многообразия F, если придавать переменным комплексные значения. [3]
Через произвольные / w 1 проективно независимые точки можно провести ш-мерное проективное линейное многообразие и только одно. [4]
Множество Рп р ( К) всех р-мер-ных ( р - 0) проективных линейных многообразий левого проективного пространства Р ( К), очевидно, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех ( р 1) - мерных векторных подпространств левого векторного пространства K i. [5]
Пусть F - биективное преобразование пространства Р, при котором образ любою / - мерного проективного линейного многообразия ( где р - фиксированное целое число, которое удовлетворяет неравенствам 1 р п - 1) лежит в р-мерном проективном линейном многообразии. Тогда F есть проективное преобразование. Случай р I составляет содержание доказанной теоремы. [6]
R) ( называемое вещественным проективным линейным многообразием) порождает в Р ( С) / - мерное проективное линейное многообразие V ( называемое комплексным проективным линейным многообразием), следом которого на Pn ( R) оно служит; при этом всякая система ( однородных) уравнений многообразия V будет вместе с тем системой ( однородных) уравнений многообразия F, если придавать переменным комплексные значения. [7]
Используя терминологию и обозначения п 5 § 3 главы VI, определим, так же как там, пространства проективных линейных многообразий комплексного проективного пространства. [8]
Как только такое отождествление сделано, всякое / - мерное аффинное линейное многообразие V пространства R имеет замыканием в Р р-мерное проективное линейное многообразие, не содержащееся в бесконечно удаленной гиперплоскости и совпадающее с проективным линейным многообразием, порождаемым V. Обратно, всякое р-мерное проективное линейное многообразие, не содержащееся в бесконечно удаленной гиперплоскости, имеет своим следом на R р-мерное аффинное линейное многообразие, замыканием которого оно является. [9]
Заметим, что для произвольного проективного линейного многообразия П1 его образ Р ( Пт), т п также есть / и-мерное проективное линейное многообразие. [10]
R) ( называемое вещественным проективным линейным многообразием) порождает в Р ( С) / - мерное проективное линейное многообразие V ( называемое комплексным проективным линейным многообразием), следом которого на Pn ( R) оно служит; при этом всякая система ( однородных) уравнений многообразия V будет вместе с тем системой ( однородных) уравнений многообразия F, если придавать переменным комплексные значения. [11]
Как только такое отождествление сделано, всякое / - мерное аффинное линейное многообразие V пространства R имеет замыканием в Р р-мерное проективное линейное многообразие, не содержащееся в бесконечно удаленной гиперплоскости и совпадающее с проективным линейным многообразием, порождаемым V. Обратно, всякое р-мерное проективное линейное многообразие, не содержащееся в бесконечно удаленной гиперплоскости, имеет своим следом на R р-мерное аффинное линейное многообразие, замыканием которого оно является. [12]
Пусть F - биективное преобразование пространства Р, при котором образ любою / - мерного проективного линейного многообразия ( где р - фиксированное целое число, которое удовлетворяет неравенствам 1 р п - 1) лежит в р-мерном проективном линейном многообразии. Тогда F есть проективное преобразование. Случай р I составляет содержание доказанной теоремы. [13]
Наоборот, можно получить пространство Р исходя из от пространства А и присоединяя к нему точки гиперплоскости, которую называют бесконечно удаленной гиперплоскостью, и, продолжая группу аффинных преобразований до ipymibi, которая превращает произвольное проективное линейное многообразие в проективное линейное многообразие. [14]
Как только такое отождествление сделано, всякое / - мерное аффинное линейное многообразие V пространства R имеет замыканием в Р р-мерное проективное линейное многообразие, не содержащееся в бесконечно удаленной гиперплоскости и совпадающее с проективным линейным многообразием, порождаемым V. Обратно, всякое р-мерное проективное линейное многообразие, не содержащееся в бесконечно удаленной гиперплоскости, имеет своим следом на R р-мерное аффинное линейное многообразие, замыканием которого оно является. [15]