Cтраница 2
Решение, полное в указанном смысле, для общих круговых многоугольников может быть получено лишь для двуугольника и треугольника, а для прямолинейных многоугольников - также для четырехугольника. Эти отображения исследуются здесь в первую очередь, причем как в общем, так и в каждом конкретном случае большое внимание уделяется задаче о параметрах. Различным интервалам изменения параметра соответствуют обычно различные типы многоугольников ( различные последовательности вершин), соответствующих одной и той же отображающей функции. [16]
Если внутри многоугольника нет критических точек ( но, возможно, они есть на границе), то отображением (14.1.1) его можно перевести в обычный прямолинейный многоугольник, к которому уже применимы методы, описанные в предыдущем параграфе. [17]
Критическими точками этого отображения служат z 0, оо, и если область Gz не содержит их внутри, то она посредством (14.2.8) отображается на обычный прямолинейный многоугольник. [18]
А 14.2, отображение многоугольников, ограниченных софокусными коническими сечениями, при помощи вспомогательного отображения W ( z), переводящего сетку конических сечений в декартову сетку, сводится к отображению прямолинейных многоугольников. Образы критических точек представляют собой дополнительные особенности отображения, что приводит к увеличению числа параметров. Благодаря этому полное решение задач на отображение значительно усложняется; ниже мы рассмотрим лишь некоторые примеры, где отображающая функция выписывается явно. [19]
Считая контур отверстия прямолинейным многоугольником, отобразим внутренность круга на область вне отверстия с помощью интеграла Шварца - Кристоффеля. [20]
Это свойство позволяет вычислить двойной интеграл по области О с любой точностью, заменив область О ее подобластью О, площадь которой отличается достаточно мало от площади О. Можно, например, вписать в область О прямолинейный многоугольник, площадь которого сколь угодно мало отличается от площади О. [21]
Но более того, развитие ее приводит к общему решению задачи о форме фундаментальной области, соответствующей любой автоморфной функции. Такой фундаментальной областью при отображении на гиперболическую плоскость всегда служит прямолинейный многоугольник. За исключением простейшего случая, который мы рассмотрели выше, когда фундаментальными областями служат треугольники, во всех других случаях фундаментальные области, будучи отображены на гиперболической плоскости, представляют собой многоугольники с четным числом сторон. Противоположные стороны такого многоугольника всегда конгруэнтны между собой. Эти многоугольники, обладают и некоторыми другими особенностями, перечислять которые здесь вряд ли уместно. Существенно лишь то, что вся задача о разыскании фундаментальных областей автоморфных функций сводится к нахождению конгруэнтных многоугольников определенного типа, на которые может быть разбита всякая гиперболическая плоскость. [22]
Для заданного распределения изгибающих моментов по координате х оно интегрируется двумя последовательными квадратурами или графически. Qx, то, поскольку эпюра изгибающего момента М изображается вполне определенным прямолинейным многоугольником ( веревочный многоугольник), мы видим, что ординаты М должны быть возведены в n - ю степень. Следовательно, интегрирование уравнения (3.93) должно проиодиться двухкратным интегрированием искаженного многоугольника, ординаты которого являются я-ми степенями ординат первоначального веревочного многоугольника. [23]
Как мы покажем в следующем параграфе, такой интеграл отображает верхнюю полуплоскость на прямолинейный многоугольник. В нашем случае стороны этого многоугольника параллельны координатным осям плоскости; мы будем называть его ступенчатым многоугольником. Для получения однозначного функционального элемента следует соединить нули с вещественной осью разрезами. Эти разрезы можно всегда расположить так, чтобы при отображении i ( w) их берега переходили в отрезки, параллельные координатным осям. [24]
Пусть имеем область, ограниченную дугами окружностей ( прямые линии, которые мы можем считать окружностями бесконечно большого радиуса, могут также входить в число границ области), причем все эти окружности или их продолжения пересекаются в одной точке. Все границы рассматриваемой области перейдут в отрезки прямых линий, и, следовательно, в результате инверсии мы получим прямолинейный многоугольник. [25]