Cтраница 2
К (6.226) совокупность всех многочленов вида P ( A) Q0 ( X), где Q0 () - фиксированный многочлен, а Р ( Я) - любой мн-огочлен, очевидно, является идеалом. [16]
Аг / А1, или Л1Л1 / Л1 / Л1, или Л1Л1 / Л1Л1 ( две особенности AI на одном уровне и две на другом), а комбинации Л2Л2 ( две особенности Л2 на одном уровне), AtA3 и Л1Л1 / Л2 невозможны. Фактически речь идет о графиках всевозможных многочленов вида / ( члены младших степеней), причем коэффициенты при младших степенях малы. [17]
Изложенный расчет носит в основном иллюстративный характер, так как многочлен вида ( VIII. [18]
Не останавливаясь на связи упомянутых проблем с проблемой моментов и с другими вопросами анализа, я хотел бы сказать еще несколько слов по поводу функций, абсолютно монотонных на конечном отрезке. Заменяя х через log ( хг с), мы из неравенств ( 1) немедленно выведем условия, необходимые и достаточные для того, чтобы заданные значения производных в начале могли соответствовать многочлену вида 2 AI ( х с) 1, где Ai - О и а О; но для того, чтобы полученная функция была абсолютно монотонной на отрезке [ - с, 0 ], необходимо и достаточно, чтобы, сверх того, числа о были целыми. Таким образом, обнаруживается арифметическая природа данного вопроса. [19]
С каждым линейным оператором связывается характеристический многочлен. Верно и обратное утверждение. Каждый многочлен вида (66.4) является характеристическим для некоторого линейного оператора. [20]
Пусть требуется приблизить функцию f ( x) х3 на отрезке [- 1, 1] многочленом наилучшего приближения первой степени. Предшествующим результатом можно воспользоваться двояко. Один путь: поскольку искомый многочлен наилучшего приближения будет нечетным, то его достаточно отыскивать среди многочленов вида Qi ( x) оцх. Второй путь: поскольку многочлен наилучшего приближения второй степени для данной задачи оказывается многочленом первой степени, то исходная задача эквивалентна задаче построения многочлена наилучшего приближения второй степени. [21]