Cтраница 1
Многочлены данной степени со старшим коэффициентом единица, которые минимизируют (3.11.3) и (3.11.4), представляют собой обобщение самих ортогональных многочленов. [1]
Отыскание многочлена данной степени, наименее уклоняющегося от некоторой функции f ( x), представляет, как это видно из предшествующих глав, задачу чрезвычайной трудности. [2]
Заметим, что наличие многочлена данной степени зависит не толь - - чэот степени элементарных делителей, но и от выбора начальных условий. [3]
Но хотелось бы, чтобы многочлены данной степени р, задающие в системе координат Оху линию Г порядка р, были пропорциональны. В таком случае говорим, что для линии Г верна теорема единственности. Но уже для линий второго порядка теорема единственности не имеет места. [4]
Чебышев допускал без доказательства существование многочленов данной степени, наименее уклоняющихся от данной функции. Но современный анализ требует этого доказательства, так как немало есть задач о минимуме, например в вариационном исчислении, которые не имеют решений. [5]
О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени, Сообщ. [6]
О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени, Собр. [7]
Одной из важнейших теорем теории наилучшего приближения функций посредством многочленов данной степени является открытое Чебышевым условие, необходимое и достаточное для того, чтобы многочлен наименее уклонялся от данной функции в рассматриваемом промежутке. Выведем здесь аналогичное условие, необходимое и достаточное для того, чтобы целая функция Sp ( х) степени р наименее уклонялась от. [8]
Действительно, это следует нз определения точности квадратурной формулы относительно многочленов данной степени на стр. [9]
Действительно, это следует из определения точности квадратурной формулы относительно многочленов данной степени, приведенного на стр. [10]
Многие проблемы анализа приводят к вопросу о нахождении минимальной амплитуды колебания многочлена данной степени на данном отрезке, в предположении, что этот многочлен удовлетворяет некоторым определенным условиям. Взятая во всей общности задача представляет очень большие трудности; но, к счастью, случай, наиболее интересный для теории функций, когда степень многочлена п возрастает неограниченно, может быть легко исследован. Достаточно построить асимптотические выражения для многочленов-осцилятбров х рода выше нуля, зависящих от нескольких произвольных параметров. [11]
Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время являются могучим средством исследования во многих вопросах математики и техники. [12]
Я не буду распространяться об обобщениях неравенства ( 1) для максимального значения многочлена данной степени во внешних точках; но важно заметить, что именно оно позволило дать новый, не зависящий от понятия о комплексном переменном фундамент для теории аналитических функций. Именно из этого неравенства следует, что только для аналитических функций приближение многочленами степени п убывает вместе с 1 / тг в геометрической прогрессии и что аналитическое продолжение может быть определено как единственное продолжение, для которого сохраняется это свойство. [13]
В конце этой главы мы применяем упомянутые выше неравенства при рассмотрении некоторых экстремальных задач, содержащих многочлены данной степени. [14]
Настоящая статья устанавливает условия необходимые и условия достаточные для того, чтобы формулы квадратур, пригодные для многочленов данной степени, имели положительные коэффициенты. [15]