Cтраница 2
Ил предыдущего видно, что вообще функции, имеющие непрерывную производную, допускают лучшее приближение при помощи многочленов данной степени, чем функции, не имеющие производной; но тем не менее есть среди функций, имеющих непрерывные производные, особый класс фхнкций f ( x), для которых, при всяком / г, En [ f ( x) ] En [ f ( x) ], где ф ( х) некоторая функция, не имеющая непрерывной производной. [16]
Равномерная сходимость последовательных производных построенного разложения следует существенным образом из известных алгебраических теорем, устанавливающих связь между максимумом модуля многочлена данной степени и максимумами модулей его последовательных производных на определенном интервале. Эго предварительное алгебраическое исследование является естественным продолжением чебышевской теории многочленов, наименее уклоняющихся от нуля, и, следуя по этому пути, я встретился в нескольких пунктах с А. [17]
Первый параграф этой главы заменен параграфами 66, 67 и 68 докторской диссертации С. Н. Бернштейна О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени ( Сообщения Харьк. [18]
Один из выводов этой обширной теории заключается в том, что определенный порядок стремления к нуле величин наилучших приближений функций многочленами данной степени п ( п неограниченно возрастает) полностью определяет дифференциальные свойства соответствующих функций и может быть положен в основу классификации функций. [19]
О том, что значение указанных проблем выходит далеко за пределы чистой математики, можно судить и потому, что, например, задача о наименьшем уклонении многочлена данной степени в промежутке, где производная его достигает известного значения, решенная покойным академиком Марковым и играющая вместе с позднейшими своими видоизменениями существенную роль в современной теории функций, была поставлена нашим великим химиком Менделеевым. [20]
Работа, которую я имел честь представить в прошлом году физико-математическому факультету Харьковского университета на соискание степени доктора чистой математики, носит название Ю наилучшем приближении непрерывных функций при помощи многочленов данной степени. Термин наилучшее приближение понять не трудно. Важно подобрать коэффициенты многочлена так, чтобы ошибка е была возможно мала; эта наименьшая возможная ошибка и есть наилучшее приближение при помощи многочленов данной степени в рассматриваемой области. [21]
Многочлены ( относительно h x - а), стоящие в правых частях, называются многочленами Тейлора. Они дают в некотором смысле наилучшее приближенное выражение функции /; ( х) в виде многочлена данной степени вблизи значения х а. Именно, среди всех многочленов этой степени многочлен Тейлора отличается от, ( х) на величину наивысшего порядка малости при х - а. [22]
Работа, которую я имел честь представить в прошлом году физико-математическому факультету Харьковского университета на соискание степени доктора чистой математики, носит название Ю наилучшем приближении непрерывных функций при помощи многочленов данной степени. Термин наилучшее приближение понять не трудно. Важно подобрать коэффициенты многочлена так, чтобы ошибка е была возможно мала; эта наименьшая возможная ошибка и есть наилучшее приближение при помощи многочленов данной степени в рассматриваемой области. [23]
Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П. Л. Чебышев ( 1821 - 1894) - один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П. Л. Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время являются могучим средством исследования во многих вопросах математики и техники. [24]
Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П.Л. Чебышев ( 1821 - 1894) - один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П.Л.Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время являются могучим средством исследования во многих вопросах математики и техники. [25]
Как и для целых чисел, можно доказать основную теорему: если многочлен делит произведение двух многочленов и взаимно прост с одним из них, то он делит другой многочлен. Нам остается, следовательно, составить полный перечень делителей некоторого многочлена. Но здесь аналогия с целыми числами исчезает. Мы не можем подвергнуть испытанию все многочлены низших степеней, потому что даже многочлены данной степени образуют несчетное множество. [26]