Cтраница 1
Матричные многочлены и алгебраические функции матриц определяются с помощью элементарных матричных операций. [1]
Умножение матричных многочленов обладает еще одним специфическим свойством. Таким образом, произведение двух матричных многочленов равно многочлену, степень которого меньше или равна сумме степеней сомножителей. Если хотя бы один из двух сомножителей - регулярный многочлен, то в этом случае степень произведения всегда равна сумме степеней сомножителей. [2]
Рассмотрим основные действия над матричными многочленами. Обозначим через т наибольшую из степеней этих многочленов. [3]
Взгляд на Я-матрицы как на матричные многочлены позволяет развивать для Я-матрнц теорию делимости, аналогичную теории делимости для числовых многочленов, но усложняемую, понятно, некоммутатнвностыо умножения матриц н наличием делителей нуля. Мы ограничимся лишь вопросом об алгоритме делен и я с остатком. [4]
Из определения равенства матриц следует условие равенства матричных многочленов одинаковых порядков: матричные многочлены равны, если их степени одинаковы и коэффициенты при равных степенях х равны. [5]
Операторные методы, базирующиеся на изоморфизме между матричными многочленами и дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами, кратко освещаются в [ 53, с. Большое влияние на последующее развитие теории сингулярных систем оказало замечание Ф.Р. Гантмахера о приложении теории пучков матриц к АД С с постоянными коэффициентами [ 22, с. В работе В.В. Овчаренко, Н.П. Макарущенко [56] исследован один способ приведения пучка матриц с постоянными коэффициентами к канонической форме. [6]
Теорема Кэли - Гамильтона позволяет показать, что матричный многочлен от а степени п может быть выражен при помощи матричного многочлена степени я-1. [7]
Матрица F ( A) называется правым значением матричного многочлена Р ( К) в Л, а Р ( А) - левым. [8]
Многочлен с матричными коэффициентами мы будем иногда называть матричным многочленом. [9]
Таким образом, правое ( левое) значение произведения двух матричных многочленов равно произведению правых ( левых) значений сомножителей, если матрица-аргумент Л перестановочна со всеми коэффициентами правого ( левого) сомножителя. [10]
Покажем, что как правое, так и левое деление матричных многочленов одного и того же порядка всегда выполнимо и однозначно, если делитель - регулярный многочлен. [11]
Из определения равенства матриц следует условие равенства матричных многочленов одинаковых порядков: матричные многочлены равны, если их степени одинаковы и коэффициенты при равных степенях х равны. [12]
Теорема 20.3. Пусть А ( х) и В ( х) - матричные многочлены порядка п над полем Р, А ( х) - произвольный, В ( х) хЕ - С, где С - постоянная матрица. [13]
Поскольку i / J ( A) 0, то в силу обобщенной теоремы Везу матричный многочлен ф ( Х) Е делится слева без остатка на А. [14]
Согласно обобщенной теореме Безу, если X и Y - решения этих уравнений, то матричный многочлен F ( X) делится без остатка справа на А. [15]