Cтраница 2
Из этой теоремы вытекает, что любой многочлен п-й степени имеет п корней, где каждый корень считается столько раз, какова его кратность. [16]
Пусть F - любое поле и f ( х) - любой многочлен степени п над этим полем. [17]
Вывод того, что Нп ( х) осуществляет наименьшее уклонение для общего случая, когда th ( х) 0 - любой многочлен степени ДГ2я, имеется в Лекциях о функциях, наименее уклоняющихся от нуля А. А. Маркова ( Избранные труды по теории непрерывных дробей. [18]
Докажем, что отображение h непрерывно, замкнуто и сюръективно. Сюръективность / очевидна, так как любой многочлен степени п имеет ровно п корней над полем С. [19]
Переходим непосредственно к доказательству теоремы Хорика-вы. Применяя 3 раза предшествующую лемму, мы видим, что любой многочлен степени 6 от 3 - х переменных может быть однозначно представлен в виде F aQ3 F Q2 - f - F Q - f - FG, где F E 5, и содержится в G - инвариантном дополнении к Q5 2, построенном в лемме. Так как коэффициенты F принадлежат Л и F ( x t /, z) 33 ( mod7r), то а 1 ( тг) и мы можем считать, что а 1, а все Fi делятся на тг. Обычным преобразованием Q - Q - F можно уничтожить коэффициент при Q2 - При этом Q не изменится ( modTr) и, произведя линейное преобразование, тождественное ( modTr), мы можем привести Q к прежнему виду. [20]
Здесь и далее предполагается, что требуемые моменты р ( х) существуют. N - ц и коэффициенты определяются равенствами ( 2), наз. Формула ( 1) обладает т-с в о и с т в о м, если она обращается в точное равенство, когда / ( х) - любой многочлен степени не выше т; интерполяционная К. [21]