Cтраница 2
Для колец рассматриваемого типа НОД в смысле элементов не всегда совпадает с НОД в смысле идеалов: например, кольцо целочисленных многочленов одной переменной х таково, что 2 и х не имеют общих делителей, кроме единицы, но идеал ( 2, х) единичным не является. То, что в этом кольце имеет место однозначность разложения на множители, будет доказано в пятой главе. [16]
Для колец рассматриваемого типа НОД в смысле элементов не всегда совпадает с НОД в смысле идеалов: например, кольцо целочисленных многочленов одной переменной х таково, что 2 и х не имеют общих делителей, кроме единицы, но идеал ( 2, я) единичным не является. То, что в этом кольце имеет место однозначность разложения на множители, будет доказано в пятой главе. [17]
Из этой теоремы следует, что всякое кольцо главных идеалов ( в частности, кольцо целых чисел Z), всякое кольцо целочисленных многочленов и всякое кольцо многочленов над каким-либо полем К являются целозамкнутыми. [18]
Теперь мы получили, наконец, право ограничиваться в вопросах, относящихся к приводимости многочленов над нолем рациональных чисел, рассмотрением разложений целочисленных многочленов на множители, все коэффициенты которых также целые. [19]
Из этой теоремы следует, что всякое кольцо главных идеалов ( в частности, кольцо целых чисел Z), всякое кольцо целочисленных многочленов и всякое кольцо многочленов над каким-либо полем К являются целозамкнутыми. [20]
Если известны Fd ( х) для всех d п, то многочлен Flt ( х) можно получить из этой формулы, применяя обычный алгоритм деления целочисленных многочленов. Поэтому эти многочлены можно рассматривать над простыми полями. [21]
Например, любой многочлен с целыми рациональными коэффициентами, который разлагается над рациональными числами, оказывается разложимым уже. Итак: если целочисленный многочлен неразложим над целыми числами, то он неразложим и над рациональными числами. [22]
Например, любой многочлен с целыми рациональными коэффициентами, который разлагается над рациональными числами, оказывается разложимым уже над целыми числами. Итак: если целочисленный многочлен неразложим над целыми числами, то он неразложим и над рациональными числами. [23]
Для трансцендентного а величину ш ( а, / /) ппп Р ( а), где минимум берется по всем ненулевым целочисленным многочленам степени не более п и высоты не более Н, наз. [24]
Сейчас мы остановимся на гораздо более простом вопросе о выделении рациональных линейных множителей многочлена / Е Q [ A ], т.е. фактически о рациональных корнях. Умножив / на общий знаменатель коэффициентов, мы перейдем к многочлену из Z [ X ], поэтому целесообразно с самого начала ограничиться рассмотрением целочисленных многочленов. [25]
Умножив / на общий знаменатель коэффициентов, мы перейдем к многочлену из Z [ X ], поэтому целесообразно с самого начала ограничиться рассмотрением целочисленных многочленов. [26]