Cтраница 1
Главные многочлены обладают следующим свойством. [1]
Ниже приведены примеры вычисления главного многочлена. [2]
Мы должны для этого построить главный многочлен четвертого порядка. [3]
Таким образом, эффективное вычисление главных многочленов ( при данном с) сводится к арифметическому алгорифму, по которому все коэффициенты рационально выражаются через начальные данные. Мы ясно выявим арифметическую природу этой последней задачи при рассмотрении случаев т J 4, когда она может быть легко решена. [4]
Число отличных от нуля членов главного многочлена не может превосходить его порядок и не может быть меньше половины этого числа. [5]
Итак, общая задача построения главного многочлена порядка т, присоединенного к произвольной абсолютно монотонной функции, сводится к случаю, когда эта последняя представляет собой многочлен F ( х), содержащий не более т положительных членов. [6]
Если F ( х) также является главным многочленом порядка, не превышающего т, то уравнение ( 42) имеет не более т - 1 положительных корней. [7]
Предложение 3.6. Всякий элемент сепарабельной алгебры является корнем своего главного многочлена. [8]
Таким образом, после конечного числа переносов а достигнет значения р 1 и главный многочлен будет построен. [9]
Примем теперь, что наше предложение справедливо для т / г - 1; его справедливость для главных многочленов второго порядка, которые никогда не вырождаются, очевидна, и L в этом случае бесконечно. [10]
Условие того, что L обладает этим свойством, сразу получается из предыдущих рассмотрений: достаточно, чтобы главный многочлен порядка т, относящийся к отрезку [ - L, 0 ], вырождался в многочлен низшего порядка. [11]
В том случае, когда один из двучленов ( или свободный член) в / 2n i исчезает, мы будем говорить, что соответствующий главный многочлен ( порядок которого при этом понижается) вырождается. [12]
Отбросим на момент последнее условие, относящеэся к F ( m - ( 0), и построим на отрезке [ - L, 0 ] главный многочлен порядка т - 1, который заведомо не вырождается. [13]
Мы можем утверждать, что имеет место следующий общий факт: всякий раз, когда существует абсолютно монотонная функция, которая удовлетворяет указанным условиям, существует также некоторый, главный многочлен, удовлетворяющий тем же условиям, порядка, не превышающего числа этих условий, если же порядок меньше числа условий. [14]
В дальнейшем мы будем изучать только наиболее важный случай, в котором все точки а совпадают, но тот же метод вполне применим к другим случаям я, в частности, основная теорема существования главных многочленов ( следующий параграф) остается в силе и доказывается аналогично. [15]