Cтраница 1
Множество идеалов, определенное в формулировке предложения 8, не пусто, поскольку М 0, и содержит максимальный элемент, поскольку А нетерово. [1]
Множество идеалов, левых идеалов и правых идеалов полугруппы S замкнуты относительно операций объединения и непустого пересечения. Так как / С ( S) содержится в любом идеале полугруппы S, то это единственный минимальный идеал полугруппы S. [2]
Множество идеалов, определенное в формулировке предложения 8, не пусто, поскольку М Ф 0, и содержит максимальный элемент, поскольку А нетерово. [3]
Множество идеалов, содержащих а и Ф Л, индуктивно упорядочено по включению. Действительно, если t - линейно упорядоченное множество таких идеалов, то 1 ( f 1г ни для какого t и, следовательно, 1 не лежит в идеале Ь [ Ь, который и мажорирует все ( у Пусть m - некоторый максимальный элемент в нашем множестве. Тогда m Ф А и m является максимальным идеалом, что и требовалось установить. [4]
Однако множество идеалов не образует кольца. [5]
Непосредственно проверяется, что аЬ - идеал и что множество идеалов образует мультипликативный моноид, причем единичным элементом в нем служит само кольцо. Пусть a, b - левые идеалы; их произведение ab определяется так же, как и выше. Оно тоже является левым идеалом, и вновь имеет место ассоциативность: ( at) с a ( be) для любых левых идеалов a, Ь, с. Если a, b - левые идеалы в А, то а - - b ( сумма аддитивных подгрупп в А), очевидно, будет левым идеалом. Аналогично для правых и двусторонних идеалов. Таким образом, идеалы образуют также моноид относительно сложения. [6]
Непосредственно проверяется, что ab - идеал и что множество идеалов образует мультипликативный моноид, причем единичным элементом в нем служит само кольцо. Пусть a, b - левые идеалы; их произведение ab определяется так же, как и выше. Оно тоже является левым идеалом, и вновь имеет место ассоциативность: ( ab) c a ( bc) для любых левых идеалов а, Ь, с. Если а, Ь - левые идеалы в А, то а - - Ь ( сумма аддитивных подгрупп в А), очевидно, будет левым идеалом. Аналогично для правых и двусторонних идеалов. Таким образом, идеалы образуют также моноид относительно сложения. [7]
Тогда в А существует, идеал, максимальный в множестве идеалов, не пересекающихся с S, и всякий такой идеал является простым. [8]
Пусть, далее, р - максимальный элемент в множестве идеалов кольца А, пересечение которых с 5 пусто. [9]
Пусть, далее, р - максимальный элемент в множестве идеалов кольца А, пересечение которых с 5 пусто. [10]
Теорема 2.7.2. Отображение: I - I является биекцйей между множеством идеалов и множеством фильтров булевой алгебры. [11]
Всякий его идеал а Ф А содержится в некотором максимальном идеале тп. Множество идеалов, содержащих а и ф Л, индуктивно упорядочено по включению. [12]
Если а - само кольцо многочленов, то наше утверждение очевидно. Обозначим через 5 мультипликативное множество всех степеней / и через р - максимальный элемент в множестве идеалов, содержащих а, пересечение которых с S пусто. Тогда р - простой идеал, согласно предложению 6 из гл. [13]
M J оо является биективным ( взаимно однозначным) отображением множества мажцрных подмножеств из Г на множество идеалов кольца А. При этом главным идеалам соответствуют мажоры, обладающие минимальным элементом. [14]
Почти все утверждения теорем этой главы справедливы лишь для элементарных компактных абелевых групп ( т.е. торов и р-торов) и, к несчастью, неверны для всех остальных компактных групп. Если проанализировать доказательства теорем этой главы, то станет достаточно ясным, что основная причина такого резкого различия в геометрических свойствах действий элементарных абелевых групп и остальных компактных групп лежит в следующем фундаментальном свойстве, однозначно выделяющем элементарные абелевы группы из остальных компактных. G существует каноническое взаимно однозначное соответствие между множеством его связных подгрупп ( соотв, р-подгрупп) и множеством линейных идеалов в H ( BG K) y & Q ( соотв. [15]