Cтраница 2
Согласно формуле ( 1) имеем геометрическое определение вероятности: под вероятностью события А понимается отношение меры I множества элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к мере L множества всех возможных элементарных исходов в предположении, что они равновозможньг. [16]
При бесконечном числе равновозможных элементарных исходов, представленных точками области на плоскости, вероятность события равна отношению площади множества элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к площади всего множества элементарных исходов. [17]
Для вычисления вероятностей событий X п воспользуемся тем, - что случайная величина X является функцией, определенной на множестве элементарных исходов случайного эксперимента. [18]
При изучении стационарных случайных процессов могут быть рассмотрены два вида усреднения: 1) усреднение по множеству реализаций, или по множеству элементарных исходов, соответствующее операции математического ожидания; 2) усреднение по времени. В общем случае эти способы усреднения приводят к различным результатам. Однако обширный н весьма существенный для приложений класс образуют процессы, Для которых усреднение по времени ( в пределе при бесконечном увеличении временного интервала) эквивалентно усреднению по множеству реализаций. Такие процессы называются эргодиче-скими. [19]
При бесконечном числе равновозможных ( в указанном выше смысле) элементарных исходов, представленных точками области на плоскости, вероятность события равна отношению площади множества элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к площади всего множества элементарных исходов. [20]
При бесконечном числе равновозможных элементарных исходов, представленных точками области на плоскости, вероятность события равна отношению площади множества элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к площади всего множества элементарных исходов. [21]
При бесконечном числе равновозможных ( в указанном выше смысле) элементарных исходов, представленных точками области на плоскости, вероятность события равна отношению площади множества элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к площади всего множества элементарных исходов. [22]
Для избежания неясностей при описании случайных явлений, результатов опыта или наблюдений необходимо формализовать эти описания. С этой целью вводится множество Q элементарных исходов эксперимента ( пространство элементарных событий); выделяется класс событий 81 ( алгебра или о-алгебра событий), рассмотрением которого можно ограничиться в данной задаче; на множестве событий 31 задается функция Р ( вероятность), удовлетворяющая некоторым условиям. Тройку ( и, 3 (, Р), которая вводится при формализации любой вероятностной задачи, называют вероятностным пространством. Дадим теперь формальное определение вероятностного пространства и покажем на примерах, как проводится формализация реальной задачи. [23]
Основой построения теории меры является, прежде всего, некоторое множество X, природа его элементов несущественна. Если говорить о теории вероятностей, то X называется множеством элементарных исходов испытания. Далее, должно быть задано некоторое семейство F частей этого множества, которое является сг-алгеброй. [24]
Случайной величиной К называется действительная функция X X ( ю), определенная на множестве элементарных исходов Q и такая, что при любом действительном х множество тех ш, для которых X ( в) С х, принадлежит алгебре событий для данного эксперимента. [25]
Анализ классических монографий и учебников по теории вероятностей ( начиная от Лапласа, Пуассона. Чебышева и до наших дней) показывает, что все они начинаются с одной и той же математической модели случайного эксперимента, в которой считается заданным множество Q элементарных исходов эксперимента и вероятности Р ( со) каждого элементарного исхода co Q. В классических учебниках Q конечно, а в современных ( по ряду разумных причин) счетно. [26]
Вторым элементом / вероятностного пространства является а-поле ( или а-алгебра) событий. Вопреки своему, возможно, несколько устрашающему названию, это очень простое, доступное для понимания понятие. Рассмотрим множество элементарных исходов, имеющих смысл или представляющих интерес в данном эксперименте. В приведенных выше примерах это могло бы быть множество всех молекул со скоростью меньше ( kT / m) l / 2 или множество всех чашек Петри, содержащих популяции, которые состоят более чем из N бактерий. Такое подмножество А пространства элементарных событий Q ( AdQ) называется событием. Множество sf событий вполне естественно обладает следующими свойствами. [27]