Cтраница 3
Яки из Технического института в Будапеште) к установлению ортогональных семейств линий скольжения для тех тел, которые он назвал типами вполне пластичного грунта Он отождествляет их с идеально пластичным телом, в котором течение происходит при постоянном значении максимального касательного напряжения Tmax & const, но с учетом силы тяжести у в уравнениях равновесия. Он определил форму изобар и кривых скольжения для полубесконечного тела и для плоского напряженного состояния клина 0 ф Р, прямолинейные края которого нагружены заданными значениями тангенциальных нормальных напряжений сгМг) ПРИ Ф0 и Gt h ( r) при ср 3 и равномерно распределенными касательными напряжениями triconst. Он сообщил также о том, что найдено поле скольжения, в котором одно из семейств линий скольжения состоит из множества неконцентрических окружностей. [31]
Вслед за видами предметов Малой вселенной идут множества, нарисованные на бумаге. С ними можно выполнять простейшие конкретные или воображаемые операции. Следующим этапом могут быть простым способом описываемые множества, элементы которых - точно описанные и легко вообразимые множества, как, скажем, определенные множества окружностей на плоскости; здесь также могут быть допущены лишь легко описываемые операции. [32]
Рассмотрим поверхность с римановой метрикой. На ней имеются два типа кривых: окружности Дарбу и окружности Гаусса. Окружностью Дарбу называется линия на поверхности, имеющая постоянную геодезическую кривизну. Окружностью Гаусса ( геодезической окружностью) называется множество точек, отстоящих от одной фиксированной точки на одно и то же расстояние, измеренное вдоль геодезических радиусов. Доказать, что множество окружностей Дарбу совпадает с множеством окружностей Гаусса тогда и только тогда, когда поверхность является поверхностью постоянной кривизны. [33]
Рассмотрим поверхность с римановой метрикой. На ней имеются два типа кривых: окружности Дарбу и окружности Гаусса. Окружностью Дарбу называется линия на поверхности, имеющая постоянную геодезическую кривизну. Окружностью Гаусса ( геодезической окружностью) называется множество точек, отстоящих от одной фиксированной точки на одно и то же расстояние, измеренное вдоль геодезических радиусов. Доказать, что множество окружностей Дарбу совпадает с множеством окружностей Гаусса тогда и только тогда, когда поверхность является поверхностью постоянной кривизны. [34]
Группа движений в проективном пространстве Р3 с прямоугольной декартовой системой координат является измеримой лишь для совокупности четырех точек, и плотность меры равна при этом Д-4, где Д есть объем тетраэдра, вершинами к-рого являются эти точки. Плотность ее меры равна единице. Множество плоскостей относительно полной группы преобразований в Р3 не допускает меры; для множества плоскостей измерима лишь ее подгруппа ортогональных преобразований. Пары плоскостей допускают меру для группы центроаффинных унимодулярных преобразований. Множество сфер в Р3 допускает меру группы преобразований подобия, причем плотность меры равна R - l, где R - радиус сферы. Множество поверхностей 2-го порядка допускает меру полной группы преобразований в Р3, причем плотность меры равна Д-5, где Д есть инвариант поверхности. Множество окружностей в Р3 допускает меру группы преобразований подобия, причем плотность меры равна й - 4, где R - радиус окружности. Д-4, где Д есть ее определитель. Плотность меры множества точек в центроаффинном унимодулярном пространстве трех измерений равна единице. Измеримо и множество плоскостей в этом пространстве с плотностью р -, где р есть параметр нормального уравнения плоскости. [35]
Например, сфера может быть образована вращением окружности около прямой, проходящей через центр. Параметризация дает три параметра положения центра и один параметр формы - величину радиуса окружности. Положение прямой, около которой вращается образующая, безразлично. Проверим задан-ность сферы через условия принадлежности точки поверхности. Положение точки, принадлежащей сфере, определяется заданием двух параметров. Из множества окружностей, проходящих через ось вращения, выбирается единственная заданием одного параметра. На этой окружности точка может быть определена также единственным параметром. [36]