Cтраница 2
На плоскости расположены два выпуклых многоугольника F и G. Обозначим через Н множество середин отрезков, один конец каждого из которых принадлежит F, а другой G. [16]
Рассмотрим любую прямую, имеющую неасимптотическое направление / и пересекающую гиперповерхность. Точки пересечения определяют на каждой такой прямой отрезок, который по аналогии с элементарной геометрией будем называть кордой. Обозначим через L множество середин всех хорд. Если концы хорды стягиваются в одну точку, то эту точку мы будем считать и серединой хорды. Покажем, что L принадлежит некоторой гиперплоскости. [17]
Стоит обратить внимание на то, что диаметром называется вся прямая. Это не означает, что середины хорд ее заполняют целиком. Такое положение возможно, но возможно также, что множество середин хорд есть, например, отрезок или луч. [18]
В решении задачи б) мы считали, что отрезки AM и BN могут быть любой величины; однако откладываться они должны по лучам АС и В С. Наконец, если позволить также откладывать равные отрезки AM и BN на прямых АС и ВС по разные стороны от прямой АВ, то множество середин отрезков будет представлять собой совокупность двух прямых, проходящих через точку ВС и совпадающих с биссектрисой C S угла С треугольника А В С и с биссектрисой внешнего угла при вершине Ci ( ср. [19]
Искомое множество точек представляет собой луч в том случае, если условиться считать, что отрезки AM и AN могут быть любой величины; однако откладываться они должны по лучам А В и АС. Если принять, что отрезки AM и AN не превосходят сторон АВ и АС треугольника, то при АВ J АС рассматриваемое множество точек сведется к отрезку AQ, где точка Q есть середина отрезка DC, соединяющего конец меньшей стороны АС с такой точкой D стороны АВ, что AD - АС. Наконец, если допустить также откладывание, скажем отрезка AM по лучу АВ, а равного ему отрезка AN - по продолжению луча АС, то множество середин отрезков MN представит собой совокупность двух прямых - биссектрис углов, образованных прямыми АВ и АС. [20]
Поэтому прообразы осей симметрии эллипса - отрезки, обладающие Тем же свойством: каждый из них есть множество середин хорд окружности, параллельных другому отрезку. Такие отрезки непременно являются двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности. Таким образом, предложение доказано: существуют два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, которые переходят во взаимно перпендикулярные отрезки - осп симметрии эллипса. [21]
Поэтому прообразы осей симметрии эллипса - отрезки, обладающие тем же свойством: каждый из них есть множество середин хорд окружности, параллельных другому отрезку. Такие отрезки непременно являются двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности. [22]