Cтраница 1
Множество стратегий II игрока ( природы) 9 остается прежним. [1]
Поэтому множества стратегий игроков расширяются до множества смешанных стратегий, состоящих в случайном выборе игроками своих первоначальных стратегий, наз. В приведенном примере оптимальными смешанными стратегиями игроков являются выборы игроками обеих своих стратегий с вероятностями 1 / 2, а значение игры в смешанных стратегиях равно нулю. Если множества А ж В конечны, то А. [2]
Если множествами стратегий игроков в антагонистической игре являются выпуклые многогранники ( с конечным числом вершин) в конечномерных евклидовых пространствах, а функция выигрыша билинейна, то игра называется полиэдральной. Поэтому в полиэдральных играх можно ограничиться рассмотрением только тех чистых стратегий, которые расположены в вершинах многогранников стратегий. Тем самым полиэдральная игра превращается в конечную. [3]
Пусть теперь множество стратегий игрока в игре Г является топологическим пространством. [4]
Пусть игрок 1 располагает двумя стратегиями, а множества стратегий игроков 2 и 3 произвольны. Если 1 играет первую стратегию, то независимо от стратегий, выбираемых игроками 2 и 3, он сам, равно как и 3, получает нулевой выигрыш, а игрок 2 - единицу. Если же 1 выбирает вторую стратегию, то во всех ситуациях единицу получает 3, а 1 и 2 получают нули. [5]
Максиминный принцип поведения игроков не зависит от мощности множеств стратегий игроков. Поэтому переход от матричных игр к бесконечным антагонистическим играм никаких концептуальных, чисто теоретико-игровых трудностей не вызывает. [6]
Если в игре Г х, у, Н) множества стратегий игроков х и у являются выпуклыми многогранниками в конечномерных евклидовых пространствах, а функция выигрыша Н непрерывна на х X у, го в этой игре игроки имеют оптимальные смешанные стратегии, а также - при любом е 0 - оптимальные стратегии, являющиеся смесями конечного числа чистых. [7]
В приведенном определении обращает на себя внимание некоторая нечеткость в определении множеств стратегий игроков: для того чтобы некоторые функции ф и - ф были стратегиями, очевидно, необходимо, чтобы при подстановке этих ф и - ф в ( 5) получалась система дифференциальных уравнений, имеющая единственное решение. [8]
На практике трудно перечислить все варианты технологических решений сразу, возможность пополнения множества стратегий игрока новыми элементами нельзя исключать из рассмотрения. [9]
В остальных случаях следует действовать более аккуратно: необходимо задать некоторое достаточно широкое семейство подмножеств множества стратегий игрока и приписать каждому подмножеству из этого семейства некоторую вероятность выбора чистой стратегии именно из него. Такое приписывание вероятностей должно подчиняться некоторым условиям, связанным с так называемой измеримостью функции выигрыша. Связанные с этим рассуждения в полном своем объеме оказываются достаточно сложными. Однако мы на них сейчас останавливаться не будем и ограничимся следующим предположением, которое в рамках рассматриваемых в данном курсе вопросов полностью соблюдается. [10]
В данной главе мы будем иметь дело лишь с такими антагонистическими играми Г из (1.1), в которых множества стратегий игроков х и у конечны. [11]
Нашей ближайшей целью является распространение методики решения выпуклых игр на единичном квадрате на аналогичные игры, в которых множествами стратегий игроков являются подмножества конечномерных евклидовых пространств. [12]
Таким образом, оказывается существенным, какая топология ( или, в частности, какая метрика) принята на множестве стратегий игроков. [13]
Очевидно, такое расширение множества стратегий игрока в действительности не будет означать расширения его возможностей, и фактическое его поведение в расширенной игре не должно будет отличаться от его поведения в первоначальной игре. [14]
Шепли [1], к-рый рассматривал антагонистич. В играх Шепли как множество X состояний игры, так и множества элементарных стратегий игроков конечны и, кроме того, на любом шаге при любом выборе игроками альтернатив имеется ненулевая вероятность окончания партии. Вследствие последнего условия, партия с вероятностью 1 заканчивается за конечное число шагов, и математич. Им же была указана процедура, дающая возможность найти как значение игры, так и оптимальные стратегии. [15]