Множество - теорема
Cтраница 2
В данном примере наиболее эффективным оказался третий метод, но читателю, не имеющему большого опыта в решении задач, трудно среди множества теорем и уравнений динамики остановить свой выбор на совокупности теорем о движении центра масс и уравнения динамики относительного движения. Решение подобных задач обычно сопровождается рядом неудачных попыток. Применение же уравнений Лагранжа обеспечивает эффективное составление дифференциальных уравнений движения системы. [16]
Множество строчек является р.с., когда все они могут быть выведены путем применения типографских правил - например, множество теорем типа S или множество теорем системы MIU; на самом деле, это определение приложимо ко множеству теорем любой формальной системы. Оно сравнимо с понятием о рисунке как о множестве линий, которые могут быть произведены в соответствии с художественными правилами ( что бы это последнее не означало. [17]
Поскольку элементарные формальные системы Смульяна и элементарные формальные системы, определенные явным образом, эквивалентны в том смысле, что для них справедливо одно и то же множество теорем, множество отношений Т можно рассматривать как структуру первой из этих систем. [18]
В результате метод неподвижной точки не только сделал более прозрачным, геометрическим доказательство теоремы Пнкара, но и дал возможность, развивая заложенную в нем идею, доказывать множество теорем существования, где речь шла даже не о функциях на отрезке и не о дифференциальных уравнениях. То же относится к геометрии гильбертова пространства, к исчислению дифференцируемых функционалов и многому другому. [19]
Множество строчек является р.с., когда все они могут быть выведены путем применения типографских правил - например, множество теорем типа S или множество теорем системы MIU; на самом деле, это определение приложимо ко множеству теорем любой формальной системы. Оно сравнимо с понятием о рисунке как о множестве линий, которые могут быть произведены в соответствии с художественными правилами ( что бы это последнее не означало. [20]
Однако блестящего успеха принцип наименьшего действия добился тогда, когда оказалось, что он не только сохранил значение, но и пригоден для того, чтобы занять первое место среди всех физических законов в современной теории относительности Эйнштейна, которая лишила универсальности такое множество физических теорем. В этом основном свойстве лежит также глубокое объяснение того, на первый взгляд неудачного обстоятельства, что величина действия относится к промежутку, а не к моменту времени. В теории относительности пространство и время играют одинаковую роль. Вычислить из данного состояния материальной системы в определенный момент времени состояния будущего и прошедшего является по теории относительности задачей такого же рода, как задача - из процессов, разыгрывающихся в разное время в определенной плоскости, вычислить процессы, происходящие спереди и сзади плоскости. Если первая задача обычно характеризуется как собственно физическая проблема, то, строго говоря, в этом заключается произвольное и несущественное ограничение, которое имеет свое историческое объяснение только в том, что разрешение этой задачи для человечества в подавляющем числе случаев практически полезнее, чем второй. [21]
Что касается применения теоремы о движении центра масс в совокупности с уравнением динамики относительного движения ( см. второй вариант решения задачи 10.7), то оно вполне целесообразно, но требует от читателя значительных навыков в решении задач. Действительно, нелегко при недостаточном опыте среди множества теорем и соотношений динамики выбрать те из них, которые ведут к составлению искомых дифференциальных уравнений. Подобные решения обычно сопровождаются рядом неудачных проб и попыток. Применение же уравнений Лагранжа исключает эти неудачные попытки и непосредственно приводит к - искомым уравнениям. [22]
Оказывается, существуют рекурсивно перечислимые множества которые не рекурсивны. К числу таких множеств относится аксиоматическая система обычной арифметики. Известно, что множество теорем будет хотя и рекурсивно перечислимо, но не рекурсивно. [23]
Кстати, одним из требований формальной системы является наличие алго - Шразрешения для аксиом: каждая формальная система должна иметь свою йшусовую бумажку для определения аксиомности. Разница между множеством аксиом и множеством теорем в том, что первые всегда имеют алгоритм разре - Мения, в то время как последние могут его и не иметь. [25]
Хотя внешне осмысленность и истинность выражений формальной системы, казалось бы, не играет никакой роли, в действительности аксиомы и правила вывода формулируются так, что всегда существует их приемлемая интерпретация. Интерпретацией для исчисления высказываний может служить теория истинностных функций, в которой переменные рассматриваются как пропозициональные переменные, принимающие значения из множества истина, ложь, а связки рассматриваются как функции. Тогда в качестве аксиомы выбирают выражения, определяющие тождественно истинные функции - функции, принимающие значение истина на всех наборах. Может быть показано, что всякая теорема исчисления высказываний определяет тождественно истинную функцию и всякая формула, определяющая тождественно истинную функцию, является теоремой исчисления высказываний. Отметим, что формальная система с таким множеством теорем не единственна. [26]
Рассуждения, которые желательно моделировать в приложениях ИИ, не все общезначимы. Часто они приблизительны и неопределенны по сути или от неполноты, или неопределенности предпосылок. Выведенные из неопределенных рассуждений заключения должны допускать возможность отказа от них, если предпосылки, приведшие к принятию предположения о возможности этих заключений, больше не подтверждаются или если новая информация блокировала эту дедукцию. Дедуктивные системы логики не позволяют прямо формализовать модифицируемые рассуждения. Симптом этой ограниченности - свойство монотонности всех обычных логических систем: множество теорем такой системы лишь растет с увеличением множества основных аксиом. Различные логические системы, формализующие модифицируемые рассуждения, будут введены и подробно описаны в последующих разделах этой главы. [27]
Некоторые читатели могут испытать чувство неудовлетворенности потому, что доказательство Джиль-берта и Мак-Доннелла, подобно большинству других ( например, [22], стр. Было предложено несколько якобы прямых доказательств ( например, [17], стр. Это несложно понять, если вспомнить, что практически только самые элементарные теоремы доказываются полностью. Все остальные доказываются с помощью других, уже известных теорем, которые выстраиваются в ряд, ведущий к аксиомам. Нельзя, строго говоря, утверждать, что некое доказательство - прямое, если хоть одна из этих вспомогательных теорем имеет косвенное доказательство. Более того, некоторые из самых простых и самых основных теорем имеют косвенные доказательства; следовательно, если бы мы настаивали на абсолютно прямом доказательстве, то существующее великое множество теорем свелось бы к небольшому числу тривиальных. [28]
Страницы: 1 2