Cтраница 2
В следующем параграфе будет построено много бесконечных неэквивалентных множеств. Но уже сейчас можно предвидеть, что множество точек отрезка несчетно. [16]
Таким образом, канторово отображение отрезка на квадрат, хотя и было взаимно однозначным, но не было непрерывным. Пеано удалось построить другое отображение множества точек отрезка на множество точек квадрата, при котором близким точкам на отрезке соответствовали близкие точки квадрата. Иными словами, Пеано удалось построить кривую линию ( в смысле Жордана), которая прошла через все точки квадрата. [17]
Ясно, что такое возможно лишь в множествах, содержащих бесконечно много элементов, - бесконечных множествах. Кантор доказал также, что мощность множества, состоящего из всех точек отрезка, не равна мощности множества натуральных чисел. Поскольку множества той же мощности, что и множество натуральных чисел, называются счетными, то Кантор доказал, что множество точек отрезка несчетное. [18]