Cтраница 2
Обратное утверждение неверно: существуют неизмеримые по Жордану множества, замыкания которых измеримы. Простым примером подобного множества является множество рациональных точек на некотором отрезке. [16]
Множество иррациональных точек является борелевским. Действительно, оно является дополнением к множеству рациональных точек. [17]
Исторически возникновение понятия иррациональт ного числа имеет своим источником геометрическую интуицию и потребности геометрии. Представим себе числовую ось с нанесенным на ней всюду плотным множеством рациональных точек. На этой оси имеются тогда еще и другие числа; по-видимому, это впервые показал Пифагор и сделал он это, примерно, следующим образом. Это число заведомо не является рациональным. [18]
Поэтому, выбирая произвольную точку с на отрезке [ О, 1 ] и рассматривая последовательность отрезков Дп вида Ai [ c - 1 / п, с 1п ], мы обнаруживаем, что точка должна быть событием, так как она является, как легко видеть, счетным произведением отрезков ДГь. Множество рациональных точек, как известно, складывается из счетного числа точек. [19]
Но пространство К является локально компактным пространством. Множество рациональных точек отрезка [ а, Ь с метрикой числовой оси не является ни компактным, ни локально компактным. [20]
Так как Ег ни где не плотно, то найдется шар 8г в S, свободный от точек Ег. Sb то S2 не содержит также точек множества Ег. Еп и, значит, свободный от точек множества Е, причем Sn c S. Для объединения счетной совокупности множеств это утверждение опровергается примером множества рациональных точек на прямой, которое всюду плотно, но является объединением счетной совокупности одноточечных и, значит, нигде не плотных множеств. [21]