Cтраница 1
Множество алгебраических чисел счетно. [1]
Множество алгебраических чисел, как легко показать, счетное Значит, поскольку все числа на оси R1 образуют множества мощности континуум, множество трансцендентных чисел несчетно. [2]
Множество алгебраических чисел счетно, множество действительных чисел несчетно, следовательно, существуют неалгебраические действительные числа. [3]
Множество алгебраических чисел ( корней многочленов с целыми коэффициентами) счетно. [4]
Все множество алгебраических чисел распадается, следовательно, на непересекающиеся конечные классы сопряженных между собой чисел. Всякое рациональное число каь: корень многочлена первой степени не имеет сопряженных чисел, отличных от самого себя, н это свойство является для рациональных чисел характерным: всякое алгебраическое число, не являющееся рациональным, будет корнем неприводимого многочлена, степень которого больше единицы, н поэтому для него существуют сопряженные, отличные от него самого. [5]
Доказать, что множество алгебраических чисел счетно. [6]
Показать, что множества целых, рациональных и алгебраических чисел счетны. [7]
Эта теорема a priori обнаружива ет существование трансцендентных чисел, ибо множество алгебраических чисел счетно и потому не может исчерпать несчетный континуум всех действительных чисел. И в то время как все прежние рассмотрения знакомили нас с бесконечными, но счетными множествами трансцендентных чисел, теперь мы можем утверждать, что их мощность действительно превосходит мощность счетных множеств, так что только теперь мы получаем правильное общее представление об их многообразии. [8]
Ясно, что этим обнаруживается существенное различие между множеством рациональных чисел или множеством алгебраических чисел с одной стороны, и множеством действительных чисел с другой. [9]
Множество ( действительных) трансцендентных чисел несчетно, потому что если бы оно, подобно множеству алгебраических чисел, было счетно, то, комбинируя пересчеты обоих множеств, можно было бы получить пересчет всех действительных чисел. Итак, в некотором смысле большинство действительных чисел трансцендентно. [10]
Еще более поразительным оказалось другое открытие, сделанное Кантором в 1873 г. - Все три множества - натуральных чисел, рациональных чисел, алгебраических чисел - имеют одну и ту же мощность, иначе говоря, множество рациональных чисел и множество алгебраических чисел являются счетными множествами. [11]
Такое число, корень уравнения, полученного приравниванием 0 многочлена с целыми коэффициентами, называется алгебраическим числом. Множество алгебраических чисел содержит, стало быть, множество радикалов из рациональных чисел со всеми натуральными показателями. [12]
Теперь для всякого натурального т определим f ( m) как ( т 1) - е число в нашей последовательности, считая только различные алгебраические числа. Тем самым будет задана функция f из N в множестве алгебраических чисел. Она сюръективна, потому что в нашу последовательность входит каждое алгебраическое число, и инъективна, потому что учитываются только различные алгебраические числа. [13]
Первые примеры трансцендентных чисел были получены только во второй половине XIX в. Впоследствии оказалось, что множество трансцендентных чисел является более мощным, более богатым элементами, чем множество алгебраических чисел. [14]
Множество действительных чисел, помимо разбиения на множество рациональных и множество иррациональных чисел, может быть разбито на два других множества - множество алгебраических чисел и множество трансцендентных чисел. [15]