Cтраница 2
Множество действительных чисел, помимо деления на множество рациональных и множество иррациональных чисел, может быть разделено на два других множества - множество алгебраических чисел и множество трансцендентных чисел. [16]
Например, корни уравнения х5 - Зх 3 0 нельзя выразить в таком виде, оно, как говорят, не решается в радикалах. Все числа, являющиеся корнями уравнений вида ( 1) с целыми коэффициентами, называют алгебраическими числами. Таким образом, множество алгебраических чисел содержит в себе множество всех чисел, выражаемых через натуральные с помощью арифметических действий и извлечений корней. Поэтому, если нам удастся перенумеровать все алгебраические числа, то тем более мы решим задачу, поставленную в начале этого пункта. [17]
К моменту создания Кантором теории множеств уже было известно, что такие числа существуют. Доказательство теоремы Лиувил-ля не очень сложно, но все-таки требует некоторых оценок погрешности приближения; на его фоне доказательство Кантора, опубликованное им в 1874 году, выглядит чистой воды фокусом. Эта публикация была первой работой по теории множеств; в ее первом параграфе доказывается счетность множества алгебраических чисел, а во втором - несчетность множества действительных чисел. Общее определение рав-номощности было дано Кантором лишь через три года, одновременно с доказательством равномощности пространств разного числа измерений, о котором мы уже говорили. [18]
И вдруг оказалось, что алгебраические числа, которые встречаются на каждом шагу, на самом деле являются величайшей редкостью, а трансцендентные числа, которые так трудно строить, - обычным правилом. В самом деле, мы уже видели, что алгебраические числа образуют лишь счетное множество. Множество же всех действительных чисел, как мы только что обнаружили, несчетно. Значит, несчетна и разность множества действительных чисел и множества алгебраических чисел, то есть множество трансцендентных чисел. [19]
Кантор открыл, что не все бесконечные множества равномощны, что существуют разные степени бесконечности. На основе вышедоказанного можно вывести то, что существуют иррациональные числа. Действительно, так как мощность действительных чисел больше мощности счетного множества рациональных чисел, то должны существовать и иррациональные числа. Действительно, множество трансцендентных чисел несчетно, ибо если бы оно было счетным, подобно множеству алгебраических чисел, тогда должна была бы быть счетной и сумма их - множество действительных чисел, что неверно. [20]